円弧の長さと扇型の面積

円弧の長さはラディアン（弧度法）で角度を定義すれば、

それは角度xはx=L/rで定義できる。ここで、Lは円弧の長さであり、rは円の半径である。

この定義から円弧の長さが２倍になれば、（中心）角は2倍になり、円弧の長さが3倍になれば、（中心）角は3倍になる。

すなわち、円弧の長さとそれに対応する、中心角は比例する。

このことは角度の定義から明らかである。

ところで、円の一部としてできる扇形の面積をどう求めるのか。これは中心角とその扇形の面積とが比例するということから、

ある扇形の面積をSとし、それに対応した中心角がxであるとすれば、円の中心の全角は2\piであり、その面積は\pi r^{2}であるから、

　　S/ (\pi r^{2})=x/ (2\pi)

が成り立つ。

したがって、この式をSについて解けば、扇型の面積Sは

　　S=(1/2}r^{2} x

と求められる。

ところで、扇形の面積が中心角に比例するということをどうやって説明しているのであろうかと高校数学の参考書とかを見たのだが、書いてあるのを見つけられなかった。

これは当然であるのかもしれないが、円弧の長さと中心角ほどには自明でもないような気がする。

もちろん、中心角が２倍になれば、そのつくる扇型の面積が２倍になり、３倍になれば３倍になることは当然とも思える。

円の半径は一定であるのだから。

もっともそのことを私のもっている書籍で書いてあるのが、少ないのはどうしてなのだろうか。