日曜日は寝て曜日だが、

日曜日は基本的に寝て曜日だが、それでも昨日はもっている数学教育事典を探して、その書から新しいことを学んだり、問題の別解を見つけたりした。その際にちょっとした計算をした。

これは手元の紙にメモしたので、今日はそれを今書きかけの数学エッセイに書き加えることができる。それにちょっとしたことにも気がついた。

先日のブログにも書いたかもしれないが、組み合わせ記号の関係パスカルの三角形からわかったことの証明を与えるものであったのだと。このパスカルの三角形と言われているものはパスカルよりももっと古い歴史があるようだが、ともかくもそれを_{n}C_{r}の記号を使って証明したというのであろう。発見的の手法が必要とされる所以だ。

そして、そのパスカルの三角形において知られて知識は逆にその証明にもつかわれることになったし、それを覚える役にも立つ。

昨夜、私にはあまり知識のないダイアドの知識が必要になることが分かった。もっともこのダイアドについて書かれた本をあまり見かけたことがない。

　

比例式と比の値

中学校の数学で出てくる比例式がある。これに関連したことを今朝妻に聞かれた。

「比例式で内項の積は外項の積に等しい」というが、これはどこからきたのかというようなことであった。朝食後の歯を磨いているときであったから、歯を磨き終わったら、教えるというということでちょっと待ってもらった。

なんでも毛糸編みをしていて、編み目の数の問題だったらしい。比例式はいつでも分数に置き換えて、その等式に同じ数をかけるということで、実質的に「比例式で内項の積は外項の積に等しい」という結果が出るが、「比例式で内項の積は外項の積に等しい」は数学的には単にお経の文句みたいなものであり、いつでも比例式を分数に置き換えないと等式の性質を使えないのである。こうしてようやく数学的には正当化はできる。

実質的にはすでに妻は分数を形に書いてこれから編むべき編み目の数を計算していたようなので、実質的な用はすんでいた。

一つの問題のヒントを探していたが、

一つの問題のヒントを探していたが、ようやくヒントとなる文献を見つけた。

というか、これは解答そのものを与えているというか。これが実は昔の高校の教科書の問題であったが、自分では解けなかった。

解答をまだ逐一計算して見てはないが、たぶんわかるだろう。これは二項係数と関係がある問題であった。

あまり順列とか組合わせについての本を多く持ってはいないので、微分積分のテクストとかを見てもでて来なかった。たぶん数学の教科書の編著者の田島一郎先生も難しいと思われたのか脚注にヒントが出ていたが、わからなかった。

節分も終わって

節分も終わったが、昨夜妻が恵方巻を友人からもらった。ということで昨夜と今朝とそのお相伴にあずかった。

あまり多くではなかったが、友人に感謝である。あまり節分と言ってもこの歳になっては実感がわかないが、子どもが小さかったときは豆を炒ったりしたこともあった。

「順列と組合わせ」についての文章を書いているのだが、ようやく組み合わせの性質がどうやって発見されたのかわかるような気がした。

これは二項定理の係数と関係があるのだが、パスカルの三角形を書いて、その係数が上の行の係数の左上と右上の係数の和になっていることから、

　_{n}C_{r}=_{n-1}C_{r}+_{n-1}C_{r-1}

が発見されたのだろうとやっと気がついた。もう一つの性質である

　_{n}C_{r}=_{n}C_{n-r}

もパスカルの三角形での係数が左右対称なことから気がついたのであろう。

たった、これだけのことでもあまりはっきりと述べられていないような気がする。気がするとしかいまのところ言えないのだが、そういう観点から「組合わせ」の性質について書かれたものを見返しをしてみたい。

数学で発見法的手法の大切さをいつも思っているのに、たったこれだけのことでも気がつかなったなんて、私はなんて馬鹿なんだろう。

　_{n}C_{r}=_{n-1}C_{r}+_{n-1}C_{r-1}

の式を覚える方策ができたことになる。この式は面倒な式だと思っていた。

最近は「順列と組合わせ」ばかり

最近は「順列と組合わせ」ばかりに集中している。

それと、片方では私の先生の残した量子力学の講義ノートの第３部の打ち込みである。ところが夕方になってトラブルが発生して入力したところがうまくpdfに変わらない。どこかがわるいのだが、どこが悪いのかわからない。

それで、入力したところを除いてうまくいくところまで帰っている。それですこしずつ、入力済みのところをつけ足してはpdfになるのかどうかを調べていくつもりである。

一度入力するのが大変なので、一度入力したものを簡単には捨てるべきではない。いずれこうやって文法に準じていないところがわかるだろうか。

２月の子規の俳句

２月の子規の俳句をさっそく挙げておこう。

　梅か香をくぐって通る小路かな　　　子規

　Going along

    the path through　　

    the scent of ume               Shiki 1890

上の日本語のところで「くぐって」とあるところが、ちょっと現在の表記とはちがっているが、現代的に直しておいた。

早くも２月になった

ついこの間、正月をした気がするのに、もう２月になった。今日は２月２日である。

２月１０日ころには毎年花粉症がひどくなるので、午前中に理髪店に行った。花粉症がひどくなると、理髪店に行くことなどできなくなると思ったので。

その後で、大街道のある、明屋書店をちょっと覗いてみたが、ここは書籍をどういう基準で並べているのか知らないが、本のありかがわかりにくい。

これは私一人の感じではなくて、私の知人の方もそういう感じを持っておられることをこの書店が開いたときに感想として伺ったことがある。

Wer nichts macht, macht auch keine Fehler

　Wer nichts macht, macht auch keine Fehler

（ヴェア　ニヒツ　マハト、マハト　アオホ　カイネ　フェーラー）

とはドイツ語のことわざだろうか（注）。

「何もしない人は、失敗もしない」これは何もしない人を褒めているというわけではなかろう。

「いろいろのことをして失敗しても、それでいいではないか」という教訓を述べたことわざであろう。

（注）ドイツ語の得意な人は、この発音のカナをつけることに反対の方もおられるであろう。あまりカナで読みをつけるのは望ましいことではないが、それでも原文を書いただけでは、それを音としてどう読むのかわからない人もおられる。

そういう人にでも不十分だが、どういう音になるのを知ってほしいという気持が私にはある。やはり言語は音声だという、気がしているからである。だから、大目に見てほしい。

私はドイツ語のできない人でもカナをたよりに、声に出して読んでみてほしいと思っている。それは日本語であって、まだドイツ語には程遠いものかもしれないけれど。