Lagrangeの恒等式

Lagrangeの恒等式については小著「数学散歩」(国土社）で書いたのだが、田崎晴明さんのMathbookを見ていたら、３次元のベクトルについてのスカラー積の２乗とベクトル積の２乗の和からすぐに出てくることがわかった。

これはほとんど自明である。もっとも、これを成分で表せば、Lagrangeの恒等式であるとは田崎さんはexplicitには書いてはいないけれど。

ところがこの証明は２次元とか一般のn次元の場合には適用できない。

そのことも「数学散歩」にちょっと触れてあるが、n次元のベクトルと思ってそれらの成分の反対称のものをつくると３次元のときだけ軸べクトル（実は２階の反対称テンソル）になれるが、他の次元ではうまくいかないことがすぐわかる。それは成分の数があわないので、同じ種類のベクトルとはなれない。

もっとも佐竹一郎著「線形代数学」（裳華房）にはこの一般のLagrangeの恒等式の証明が載っていることはＮさん（当時大阪工業大学）に教えてもらった。

私の一般のLagrangeの恒等式の証明は数学的帰納法だったので、面白くもなんともないものでしたが、いろいろ証明法はありそうである。これからも探してみたい。

括弧の省略

標題がどういうコンテキストからつけられたかは、ちょっとわからないでしょう。算数とか数学での演算規則の表記が括弧を省略するようにつくられているらしいということです。

先日も分数の計算についてちょっと書いたのですが、これは分数だけではなくていろいろなところに括弧の省略のために演算の優先順位が決められているということを銀林浩著「子どもはどこでつまずくか」（国土社）で知りました。

このような演算の優先順位は近頃は多分コンピュータ言語の中でしかひょっとしたら意識されていないかもしれません。加減乗除があれば、加減よりも乗除を優先するというのも括弧の省略ためであることをしりました。また、abとかa/bとかべき乗とか開法のときには括弧がなくても演算が優先されるということです。乗除よりもべき乗と開法が優先されるのは当然でしょうが、コンピュータ言語の中でしか私は意識をしていませんでした。

このことについていつかエッセイを書いてみるつもりです。いわゆる代数の本の中にもそのことはきちんと指摘をされていません。さすが銀林さんですね。上に述べた本にきちんとした説明を見つけてほっとしましたが、もっとそのことに注意を喚起した説明がなされるべきだと思います。