これはsin xとかcos xとかが含まれる有理関数があれば、それらをt=tan (x/2)で表せば、必ず積分できるということに使うので、必要になってくるのですが、簡単なこの関係をどうやって導くかをいくつかの本で調べてみたものをエッセイに書いています。原稿はほぼ出来上がったのですが、毎度のことでこれをTEXにする時間がありません。
結構いろいろな方法がありますね。簡単なsin x=2t/(1+t^{2}), cos x=(1-t^{2})/(1+t^{2})といった式なんですが、この置き換えで積分したことは実はあまりないのです。
これは最後の手段という訳ですが、いつもはもっと違った方法でいままでは積分をしてきたと思います。いろんなことがかなり初等的な数学の範囲でも話題はあるものですね。
(2018.6.4付記)
表題のエッセイは「数学・物理通信」5巻11号 (2015.12)に修正して掲載されている。このことに関心のある方はインターネットで検索してください。いまのところ、これが私の最終レポートである。「数学・物理通信」は名古屋大学の谷村さんのサイトにリンクされている。
(2020.3.12付記)
この
sin x=2t/(1+t^{2}),
cos x=(1-t^{2})/(1+t^{2})
は加法定理を用いないで直接に倍角公式を導くことなっているというのが私の最近認識したことである。この知見も含めて「数学・物理通信」10巻1号にエッセイを書いた。関心のある方はインターネットで「数学・物理通信」を検索して読んでください。