整数は高々４つの平方数の和で表せる。
1=1^{2}
2=1^{2}+1^{2}
3=1^{2}+1^{2}+1^[2}
4=2^{2}
5=2^{2}+1^{2}
6=2^{2}+1^{2}+1^{2}
7=2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}
8=2^{2}+2^{2}
9=3^{2}
10=3^{2}+1^{2}
11=3^{2}+1^{2}+1^{2}
12=3^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}
13=3^{2}+2^{2}
こう書いていけばきりがないが、うまい具合に高々４つまでの２乗数を用いると１３までの整数は表せた。この後も２０まではこのように表せることを調べている。この証明はLagrangeがしているそうだが、その証明を知らない。
少なくとも私のもっている本には証明はなさそうだ。インターネットを調べてみるべきだろうか。
(2023.8.23付記) インターネットにタイトルに書いた定理の証明があるので、読み始めたが、これは私にはわからない。もっとやさしい書き方でないと。他の証明の仕方もよんでみようと思っている。しかし、事実は少し実例を書いて見るとどうも確からしいのだが、これを証明しょうとすると面倒だとは思わなかった。