めまい(vertige)

Vertigeとはめまいというフランス語である。めまいという英語も知らないのにフランス語は知っているとは変である。

実は１５日の夕方にめまいを起こしたので、数日パソコンから離れていた。これはパソコン作業に関してめまいを起こした最初ではない。

私の記憶している限りでは３回目か４回目である。画面上のスクロールなどを見ているうちにめまいを起こしてしまうことがあるのだ。

一番ひどかったときに１か月ほどコンピュータの画面を見ることができなかった。今回も最低１週間はパソコンに触ることを自分に禁止するつもりだったが、そうもいかなくてブログを書いている。

なかなか仕事が進まない

「数学の基礎」というたいそれたタイトルのエッセイを昨日から書き始めたが、なかなか進まない。

これはボールペンで書いたメモを先日見つけて書く気になったエッセイである。それと先週の土曜日に生徒さんに話した内容を加味したエッセイである。

前のメモには四則の交換法則、結合法則、分配法則を図に表すことを考えていた。図のスケッチはしていたが、きちんとtikzで描いた図はもちろん用意されてはいなかった。このメモをいつ頃書いていたのかもわからない。

そういうこととは別だが、このメモには平方完成の話とかも書かれている。もっともそれを図で表すことはメモには描かれていない。この図も描くべきだろう。

それと平方完成の方法の動機もどこかに書いておくべきだろうが、このことを詳しく考察した論考をあまり見たことがない。掘り下げた考察が私にできるだろうか。

いわゆる単振動の合成とかも恒等式の式変形ということで述べておきたいと思っている。

ちょっと時間ができたので

ちょっと時間ができたので、恒等式と方程式の関係の私の知見をまとめようとしている。

これは以前に書いたメモを最近見つけたということもあるし、１週間ほど前に中学生君に話したこととも関係がある。

うまくまとまれば、「数学・物理通信」１４巻の１２月発行の号に掲載したいと考えている。

手書きのメモでは１０ページほどもあるが、パソコン入力したら７～８ページであろうか。図も描きたいと考えている。

これは以前から考えていたことだが、和と積の演算での結合則と交換則、分配則とかを図で表すことを前から考えていた。これをあまり他では見たことがない。

もっともまったく例がないわけではなく、矢野健太郎『代数入門』（岩波全書）に私の考えているような図が前例としてはある。ほかではいろいろ文献を探せばあるであろうが、かなりよく調べないと見つけられないのではなかろうか。

もっとも数学を学んで行く途中で出会うような恒等式の変形についてもここで取り出して述べておきたいと思っている。

これらは高校数学をよくご存じの方々には珍しいことではないが、これらのついて再度注意を喚起しておきたいという気がしている。

こういう話はこのブログのようなところでは詳しく述べることができないのは残念である。

もっとも「数学・物理通信」のすべてのバックナンバーは名古屋大学の谷村先生のサイトで見ることができるので、今年の年末には全貌が明らかになるであろう。

四元数ダイアリーを書く暇がない

忙しいわけではないのだが、四元数ダイアリーを書く暇がない。

おかしな現象である。こういうことが起こるとは思ってもみなかった。結局私は何をしようとしているのだろうか。わからない。

雑談会のご案内を出した後に四元数ダイアリーを書いてみようか。もっともこれはなかなか意志を持たないとできないことである。

11月の子規の俳句

１１月も初旬が終わったので、子規の俳句を紹介しておこう。

　珍しき蜜柑や母に参らする　　　　子規

　rare oranges---

    giving them to

    my mother　　　shiki   1902 

私などは「参らする」という日本語がわからなかった。英訳でようやく子規が「珍しい蜜柑を手に入れたので、お母さんにあげよう」としたのだとようやくわかった。

いや、私だけではなく多くの現代の日本人は「参らする」などという表現は知らないのではなかろうか。

それとも、皆さん、はじめから分かられましたか。

テレビを見ること

テレビを見ることが私にどういう効果を与えているかというと、私はテレビを見ているとリラックスして居眠りしてしまうといういい効果をもっている。

というか最近はテレビをあまり見る機会がないのでリラックスできないのである。だから本当はテレビを見てリラックスしてでもいいから居眠りするくらいの時間が持てたほうがいいと考え出した。

そういう時間が気分転換になる。どうやって気分転換するかが大切だと最近思い始めている。

恒等式と方程式

恒等式と方程式とは同じ等式だが、式の変形の原則はちがうことを知っておく必要があろう。

恒等式の式の変形の原則は

（１）交換法則　

（２）結合法則　

（３）分配法則

だけである。

式の展開では（３）分配法則を左から右へと適用するが、因数分解では（３）分配法則を右から左へと適用する。

こういうことは今まで考えたこともなかった。

一方、方程式の式の変形ではいわゆる等式の性質を使う。これはここに書くことは止めておこう。

難しくはないことだが、主格変換という考え方もある。これは一般に恒等式における方程式風の変換であるが、等式の性質を使っている。

ちょっと説明をすると距離 d と速さ v と時間 t との関係は d=vt である。この関係式を速さ v について解きたいとする。そうすると v=d/t としなくてはならない。また、距離 d を速さ v で行くに要する時間 t はｔ=d/v となる。

こういう変形は等式の性質によっているが、本来この式は恒等式である。

魔の金曜日？

また金曜がやってきた。本来私は教えたがりの性質だが、それでも最近は金曜は重たくなる。別に私の体重が重くなるわけではない。気が重たくなるということだ。

すいすいと勉強してくれれば、こちらも気分がよくなるのだが、そうではないので気分が重くなる。

それでも負けずに準備をして期待に応えることが必要である。第一私自身が６０年くらい前には数学がわからなくて、お先真っ暗だったではないか。

そして、そのときには私自身はだれかの先生に直接教えられたのではなくて、学習参考書を読んで自分の高校数学のわからなさを時間をかけて、なんとか克服したのではあったが、そういう学習参考書も最近では適当なものを見つけるのが難しいかもしれない。

そういう意味では現在は選択肢は広がっているものの、それから何を選んだらいいのかが、却って難しくなっている時代なのかもしれない。

大前提があやしい

中学校の数学のただ塾の生徒さんであるが、どうも私などがすでにもっていると思っていた大前提の知識が不確かなのではないかと思い始めた。

そうだとすれば、もう一度最初から復習するしかない。数学とはなにかだとか。数式にはどういうものがあり、文字は数を一般に表しているのだが、どういう数を表しているかだとか。

また代数では文字のかけ算では数のかけ算のときに使う、かけ算記号は省略するだとか割り算のときに使う割り算記号は使わないで、分数の形で書くとか。

そういう基本的なことができていないと何をやっても難しく感じてしまうかもしれない。それだとなかなか小学校の算数からも一歩も抜けられない。

数式には

　１）等式

　２）不等式

があり、等式には

　１）恒等式

　２）方程式

がある。

不等式にも

　１）絶対的不等式

　２）条件付不等式

がある。

また代数では文字は一般に数を表すが、数としては

　数　：　任意定数（パラメーター）

　　　　　未知数（未知の定数）

　　　　　変数

がある。

数学の分野は

　１）代数

　２）幾何

　３）解析

    ４）統計

の4つの分野に分かれるという。

そして代数の分野では普通には

　１）恒等式

　２）方程式

　３）関数

の順序に幾何の分野を除いて中学校では学んでいるようだ。

そして恒等式の変形のルールと方程式の変形のルールとはかならずしも同じではないことも学習者の障害になりうる。

　

したいことはあるのに意欲が持てない

したいことはあるのに意欲が持てない。

という変な気持というか、意欲が持てない状況である。あまりいままで経験したことのない状況である。

やはりリフレッシュが必要なのだろうか。変な気分である。かなり緊張した期間が長く続いたので少し気力を取り戻すのに時間がかかりそうだ。それがどのくらい時間がかかるのかまったく予想がつかない。

明日には気力がとりもどせるのか、それとも１か月くらいかかるのかまったく予想がつかないのは不安でもある。気持だけは焦燥感があるのだが、どうしようもない。

こういうときには気分転換して仕事のことは一時でも忘れるしかないのだろうか。困った困った。

ベクトル積の覚え方

ベクトル積a\times bの成分の覚え方に関心がある。

いまも四元数入門というエッセイを書いたところだが、この中にベクトル積の成分の覚え方について数行を挿入した。これはあまりうまく述べられていないのと思うのだが、それをうまく述べるにはどうしたらいいか。

もちろんLevi-Civita記号\epsilon_{ijk}で \epsilon_{ijk}a_{j}b_{k}などという難しげな記号を導入するというのも一つの手である。これがどんなものかはここではわざと紹介しないでおこう。関心を持った方が自分で調べたほうが印象が深くて絶対に頭に残るだろうから。

もっとも世の中の諸兄姉は私みたいな鈍才ではないので、ベクトル積の成分などには引っかからないでさっさと受け入れる方ばかりなのだろうか。

しかし、そうだとばかりは言えないらしいとは学習院大学の田島先生の物理数学の講義ノート（インターネットで読むことができる）で説明がされていたので、やはり優れた研究者の方でも「私と同じようなところがあるな」と思ったことがあった。

つぎの説明は田島先生の説明と同じだろうか。もし第１成分なら（１２３）の最初の１のところを指で押さえると、残りは２３である。これが第１成分の第１項の添字である。第２項はーをつけて２３の順序を入れ替えて３２とすればよい。すなわちa_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}が第一成分である。

第２成分は（２３１）と（１２３）を一つづつずらしてサイクルさせ、最初の２を指で押さえる。そうすると残りは３１である。これが第２成分の第一項である。残りの第２項はーの符号をつけて３１の順序を入れ替えて１３としてたせばよい。すなわちa_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}が第２成分である。

もうここまで述べると第３成分はa_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}となることは明らかだろう。要するに第 i 成分のときに i が表にでて来ないのだが、これを意識することができれば覚えるのは簡単だという話である。

有名な『Feynman物理学』だとかの教育的配慮の届いた書籍にはどれにも、この表（おもて）にでて来ない第1, 2, 3成分という数字を意識させるような書き方がさりげなくされている。この辺は私みたいにこれでもかという執拗な言及はないのだが、奥ゆかしい配慮はされている。

上に述べたLevi-Civitaの記号とかの表示でも、たとえば、第１成分の添字に１という数字がまったく出て来ないことに違和感を感じて１が来るようにしたとか第２成分の添字に２が出てくるようにという風な工夫をしたのではないかと考えている。

図を描けばすぐにわかるところを言葉だけで説明をしたので難しく思えるが、図を描けば田島先生の説明になるのだろう。

四元数ダイアリー

「四元数ダイアリー」を書こうかと思い始めている。

私の企画している「四元数ダイアリー」とは何か。ちょっと説明がいるだろう。

これは私が四元数に関して、または、それより広い八元数まで含めた範囲で問題点としていることを、その最初の問題点とか、それに対して書物とかの文献で書かれていることをそのままノートに筆写することを意味している。

フルビッツの定理だとか、vector空間の話とか、SU(2)の表現の2価性だとかはそういう私のもっている問題点である。

それらについて私が納得した見解をまだ持っていないから、それについて書物に書かれていることを、まずはダイアリーにそのまま筆写しようと思っている。

それらがある程度蓄積してくると自然にいつかその私の疑問点が解けるかもしれない。そういう期待もある。

四元数による空間回転の表示の問題もそう問題の一つであったと思うが、この問題はKuipersのやり方を少し改良するやり方で最近になって自力解決した。

もっともこれについては四元数ダイアリーを書くという経験を経てはいないのだが。

今日もまた

今日もまた早く目が覚めてしまった。

先日に引き続いてである。本当は今日は東京にいるはずだった。ところが昨日の午前に自家用車で空港に夫婦で飛行機に乗ろうと思って行ったところあいにく、どこの駐車場も満杯でどこにも駐車できず、妻が一人で上京し、私は松山に残るという選択肢しかなかった。

午前中の比較的はやい時間帯ならば、最近はこういうことが普通であるらしい。そういうことも知らない世間知らずである、私たちは。

お陰で雑誌に投稿予定の四元数のエッセイを推敲する時間ができた。本当は今日松山に帰って来てから検討する予定だったのだが。もっともそういう言い訳つきで雑誌の編集者には推敲前の原稿をすでに送ってある。推敲された原稿はもう一度確認してから最終稿のつもりで送っておこうか。

それとも編集者からの意見を聞いてからもう一度推敲した方がいいのだろうか。

なんでも完璧とはいかないものだ

なんでも完璧とはいかないものだ。いや、これは実感である。

小著『四元数の発見』の第４章の記述を一部を修正したほうがよいとわかった。いや、この章の記述がまちがっていたわけではない。よりよい説明があると気づいただけだ。

その上に四元数による空間回転の表示から得られた、直交変換の行列Rがdet R=1であることもきちんと示しておきたい。これは私のノートには最近チェックをすでにしてあるのだが、その計算の大筋も書いておいた方がいい。

自分でいうのもはばかられるが、四元数の本で私の本ほど高校生くらいの数学と行列の積を知っていれば、四元数の初歩が誰でもわかるように書いた本はないだろう。

そして、この本に全精力を注いだつもりだったが、時間が経過して見るとまだまだ未熟なところが露呈してくる。

そして「修正したいところ全部修正したとして、どれくらいわかりやすくなるの？」と反問されると、それは読者の判断に待ちたいとしか言えないのだから、インパクトに欠けるだろうか。

もっとも本の出版は出版社の利益も確保しなければならないので、大幅に本を修正するのは難しい。これは私の希望だけではどうにもならないところがある。

金曜日は忙しい

本当は土曜日は忙しいと書くべきなのだろうか。

これは今日の土曜には「ただ塾」の数学の先生をしているからである。生徒が自分の問題集を持っているのなら、それをやってもらってこちらは正しいとか正しくないとか、はたまた間違ったときには正しいやり方を教えればよい。

だがそういう教材を持っていない。だからこちらでそれを用意しないといけない。はじめは私の持っている中学校の数学の本をコピーすることなども考えたのだが、それもけっこうコピー代がかかるということで難しいと感じている。

比較的安いのは自分で教材や問題をパソコンに入力して、それをプリントすることだ。ということで前日はその準備で忙しくなる。ほぼ一日が費やされる。どういう教材をつくるかを考えるにはいくつかの本を読まなければならない。

ところが実際に来る生徒はなかなか私たちの話を聞いてくれないで、スマホでゲームをやっているという状況である。１年以上不登校であった生徒さんが当該の生徒さんである。

スマホを見てゲームをするというのは多分その生徒が怠惰のためにしていることではあるまい。自己防衛本能が働いているのだとの判断をしている。

それが本当の理由だとなかなか「スマホを見てゲームをするな」とは叱れない。叱るつもりもないだのが。

それで私は「自分に打ち勝つ方法を探せ」とアドバイスを兼ねて言っているのだが。　せっかくのいい頭の持ち主なのにまだ自分の特色を生かすところまでは行っていないのは残念である。