n!の一般化と言ったら、すぐに「ああガンマ関数ですね」と応答した方はやはりかなり数学のことを知っている人だろう。
ただ、その関数がe^{-ax}を0から無限大まで積分した\int _{0}^{\infty} e^{-ax}をパラメーター a で微分したものと関係していると言われてすぐにピンとくる方はかなり深く数学を理解している人だろうか。
最近読んだ本では一石賢さんの『道具としての物理数学』（日本実業出版）のpp.172-173で見たのだが、今日ここ数日の間にアクセスされた私のブログを再読していたら、すでにストロガッツ『ふたりの微積分』（岩波書店）のpp.60-61に同じことが書かれていることを、私がブログに書いていた。
自分でこういうことを書いておきながらそのことを忘れてしまっていた。もっともこのときに関心があったのはパラメータによる微分で定積分の値を得るということに関心があり、あまり n! の一般化という方に関心がなかった。
『道具としての物理数学』は2002年の出版であり、『ふたりの微積分』は翻訳書の出版は2012年であり、後者は前者よりも10年ほど後である。もっともこの事実はたいていの人に知られていたのだろう。
オイラーが n! を補間することに関心をもち続けていたというからオイラーにその源があるらしい。
（２０１７．６．２０付記）n! の一般化といえば、ガンマ関数だが、このガンマ関数の定義はラプラス変換の一つとも考えることができると昨日知った。もちろん、そのときには被積分関数中の指数関数の引数の中にパラメーターを導入しなければならないが。ラプラス変換としてみたときのガンマ関数に新しい性質が付け加わるのかどうかは現在時点では私にはわかっていない。