ラプラス演算子の３次元の極座標表示

ラプラス演算子の３次元の極座標表示についてのエッセイを何回か書いたことがある。一番面倒な真っ当な導出法も何回か書いたことがある。

だが、もしか始めから軌道角運動演算子Lが極座標で書かれていたら、そのL^{2}も計算が楽になるだろう。このことを書いているらしいのが昨夜書いた学習院大学の田崎先生の『数学』にある。

ということで記述の該当箇所の近辺のチェックを今朝起きてから始めた。まだ当該のところまでは達していない。もし演算子L^{2}が比較的簡単に計算できるとすれば、これは量子力学のシュレディンガー方程式を解く人にも大いに朗報となる。

教育はある程度の繰り返しも必要だが、学ぶ学生に不要な労力をかけないようにすることは必要である。どこかに記録があってそれを学べば済むようになっていてほしい。

生物の進化に個体発生は系統発生を繰り返すとかいうが、教育にはそういうところがある。だが、「個体発生は系統発生を繰り返す」というのだって要領よく繰り返しているから生物は存続しているのだと思う。

教育でもそうだろう。

（２０２４．６．６付記）

当該箇所をほぼチェックした。ラプラス演算子の３次元の極座標表示を導出する、いままで私がエッセイを書いた方法以外の導出法がわかったので、これについても書いておきたいと思うが、いまは文章にまとめるという意欲がわかない。

（２０２４．６．１９付記）

ラプラス演算子の３次元の極座標表示を導出することをまともに導出したいと思っている人がいるなら、もちろんご自分でやってみるのもいいが、私がなんどか真っ当に計算したノートが「数学・物理通信」のバックナンバーにあるからインターネットで検索してみてほしい。そういうことで若い方の貴重な時間を奪ってしまいたくないから。

私も２０代前半だったかにこの計算をまともに試み、１週間ほどを時間を費やして最後まで計算をやり遂げることができなかった記憶がある。

それなりに計算に工夫をしてあるレポが「数学・物理通信」のバックナンバーにあるはずだ。Bon courage.

田崎晴明さんの『数学』

まだ十分には見ていないのだが、物理ための数学という観点では学習院大学の田崎さんの書かれている『数学』がとてもいいように思う。

田崎さんはかなり以前から『数学』を発表されていたと思うが、あまり詳しく読んだことがなかった。最近プリントしたので画面上ではなく紙面で読むことができるようになった。いやこれは私の事情である。

ベクトル解析に関心があるので、彼がベクトル解析についてどのように書かれているのかを学んでみたいと思っているが、なにせ忙しくて十分に時間がとれないのが残念である。

こういう良心的でかつ熱心で最高の著者がいるのは現代に物理学の学ぶ者にとっては幸せであろう。その利点をできるだけ享受したいと思うのだが。

ちょっと見てよかったのは３次元ラプラス演算子の極座標表示が簡単に導かれていることである。これは私などが馬鹿正直に計算して高名な物理学者のN先生から数学ギライをつくってはいけないとご注意を受けたことがある。それはそうなのだが。

最近知ったこと

フランス語の部屋はla chambreというとばかり思っていた。しかし、これは寝室をもっぱら意味することも知らないわけではなかった。

最近知ったところでは普通に部屋というときはla piece(piの後ろのeはアクサングラーブがつく）だとか。

ドイツ語の部屋はdas Zimmerは個人が使う部屋であり、der Raumは多くの人が共通に使う部屋だといつかこのブログで書いたことがある。典型的なものとして

Fruestuecksraum朝食用のレストランがある。

そのZimmerとRaumのブログの検索があったので、chambreとpieceの区別についても書いた。

いろいろな思い

いろいろな思いが交錯している。『物理数学散歩』（国土社）に書いたベクトル代数に関するいくつかのエッセイを改訂しておきたいと、ここ数日思っている。

これは希望としては持っているが、まったく達成しそうにないベクトル解析の本の一部とすることができるようにという気持ちからである。

大体、私は物わかりがわるくて、いまでもベクトル解析がよくわからない。特に一番重要な、ストークスの定理とガウスの定理が。しかし、これについてもようやく納得しかけて来ている。まだ十分に納得したとは言えないのだが。

ストークスの定理とガウスの定理については微分形式で一括して解説するテクストが最近は多くなっているようだ。そういうのもいいし、必要だとは思うが、それとは別に旧式の方法での理解もしておきたいと考えている。

私が以前に書いたエッセイは１）ベクトル積の成分表示の導出、２）ベクトル３重積の公式の導出、と３）その応用である（付記参照）。ベクトル代数については誰も現在では問題点をたぶんもっていないだろうが、それは現在では数学の教授法もそれだけ進んで来ているからであろう。

だが、ベクトル解析の最重要な定理であるストークスの定理とガウスの定理について、私にはまだ十分な納得ができていないという困った状況である。いやこれはたぶん私一人の問題点ではあるのだが。

(2024.6.5付記)

ベクトル解析のエッセイは上に書いた３つ以外にもある。しかし、それらはすでにlatexの原稿を持っていて、すでに「数学・物理通信」に発表していると思う。だから、latexの原稿をもっていないエッセイという限定付きである。

新学期になったためか、

新学期になったためか、どうだかわからないのだが、心なしかブログへのアクセス数が増えた感じがしている。

これは大学の新入生さんがたまたま私のブログにアクセスしてくれているのかもしれない。

そうだとすれば、有難いことではある。私は外国語にも関心があるので、新しい言語を学ぼうとする方々への学習のお勧めになっているとうれしいのだが。

一方、数学の教育にも関心がある。これは私が高校に入って悪い数学教育を受けたことの証でもある。そういう悪い数学教育を受ける人は今では少なくなっているだろう。

日本では数学の本はたくさんあって、選択に困るくらいである。もっとも現代の学生にとっても、たくさんの本を購入して読み比べる経済的な余裕はないだろう。そこがいちばん難しいことだろうか。

ブルーバックス『数の世界』

ブルーバックス『数の世界』（講談社）の四元数の箇所を読み返している。もっとも４章はすでに読み返して、５章の途中で息が切れての、一休みである。

アマゾンの書評でも四元数の箇所は秀逸との書評がされていた。四元数を用いた回転の前で息が切れたのである。

すこし休んでからでないとなかな読む気が起きない。私は集中力があまり長く続かない。実はここからが私にとっても大切なところなのだが。

４次元空間での３次元の球をイメージするところが４章の末尾にあった。私たちの知っている球面は３次元世界での２次元の球である。そこがまちがえていたのは私だけではあるまいと思う。

私たちは３次元世界に住んでおり、私たちの知っている球面は２次元である。２次元世界での１次元の球とは円のことである。

(2024.6.4付記)　

昨日４元数の関係の章は読み終えた。私にしてはこれらの章を読み終えられるとは思っていなかった。が、なんとか読み終えた。初めて読んだときよりははるかに理解が進んだ。

私も学ぶところが多かった。もちろん書き方に疑問が出るところもあるが。いや、だれでも著者には著者としてのバイアスがかかるのはしかたがない。これは私自身についても言えることである。

学ぶところが特に大きかったのは四元数の計算でqxq^{-1}の計算のところである。ここは学ぶべきところだと思っている。ただ、その計算の細部ではそれ以前に鏡映変換のことをすでに述べているのだから、それについて言及をして、計算を省略してもいいような気がした。　

もっとも著者はわざと前の方法を読者に思い出させるようにわざと使っているのかもしれない。そうだとすれば著者の深謀遠慮ということになる。

昨日はブログを書くことにならなかった

昨日はブログを書くことにならなかった。ブログのところまでは接続したのだが、アクセス解析のところのどういうブログが読まれたかというところを見ているうちに他の用事でブログ自身を書くことを忘れたようだ。

こういうこともある。いやひょっとしたらブログを書いているかもしれない。そういう心もとない記憶しかない老人である、私は。

実は昨日の午後３時を過ぎてからは今日のタダ塾の中学生のための数学の練習問題を入力する仕事をしていた。

もっとも問題をつくると言っても、ある機会に面識を得たことのある有名な数学教師、武藤徹先生のテクストから式の計算の問題を写して入力をしていただけである。

三枚のプリントをつくったのだが、先々週のときにはこれを中学生がすぐにやってくれて時間がたっぷり余った。もっとも数学に落ちこぼれそうな中学生であるから、むしろ時間が余るくらいの方がいいのかもしれない。達成感を感じてもらえるのだから。