e^{x}の定義について一昨日くらいから本を調べている。もちろん数学の本だが高校数学プラス・イプシロン程度の本である。
そういう本でも(1+x/n)^{n}のnを無限に大きくした関数だと定義として書いてあるものもあるが、そこまでも書いてない本も多い。
わりと簡単なe^{x}の定義は
e^{x}=1+x+x^{2}/2!+x^{3}/3!+・・・
であろうか。そういう定義のしかたもある。このとき自然対数の底eをどう定義するかであるが、上の指数関数e^{x}の定義でx=1とするのが多いような気がする。これだと割と簡単に自然対数の底eを計算することができる。要するに収束がはやい。
原理的には(1+x/n)^{n}のnを大きくした数値を求めてもいいのだが、これだとnをかなり大きくしても、それが真の値になかなか収束しない。ちなみに自然対数の底eの近似値は2.718281828459045である。「フナ一杯二杯一杯二杯しごくおしい」とかいう覚え方もある。