経路積分の定積分公式

今日計算をやり直して見たら、どうも項を一つ落としているらしい。そう思ってもう一度昨日の計算を見てみるとやはり一つ項を落としていた。その項をつけ加えたら、係数は確かに数学公式集の通りとなった。

cot xの展開といったが、もちろん実際の計算はxcot xをxのべき級数で表すことをしたのだ。これにsin xの無限積の表示をつけ加えれば、証明したいと思っていた３つの式を証明できたことになる。

あともう一つFeynman-Hibbsにも載っている式が「経路積分ゼミナール」には出ているのだが、これはいまのところ証明の見当もつかない。少なくともSchulmanの本に出ている定積分の式は全部導出できたことになる。

経路積分に出てくる定積分公式の導出でこの数日を過ごしたので、元へ戻って実験室系から重心系への変換のまとめを来週からしたい。

(2014.4.16付記)　Feynman-Hibbsの本に載っている、10個の定積分の公式の中でまだ4つの積分公式が証明できていない。

どこかにヒントとか証明を書いた書籍があるのかどうか知らない。10の全部の定積分公式を証明してどこかに発表しておきたいが、さてこれができるのかどうかはいまでもわからない。

証明を知っている人から教わりたいと思っている。

cot xの級数展開

cot xの級数展開を昨日計算したが、xの10乗の係数があわない。

これはtan xから計算をするもので岩波の数学公式集のIIに載っているものである。経路積分との関係でチェックしている。

xの8乗のところまでの係数の計算はあった。xの10乗の係数の計算があわないので、見直したのだがどこが間違っているかわからなかった。

帰宅したら、友人のN先生からのコピーが届いていた。これはn次元の球の体積を求める新しい方法を述べたものである。

昨夜12時過ぎまでこれを読んでいた。大体のところはわかったと思うが、まったくn次元の球の体積を求めるという意識なくこれを求めてしまうというところがある。

すくなくとも、愛数協の「研究と実践」に3回私が書いた方法とはちがったcontextから導かれたように思われる。

詳細に検討してみれば、その一部はまっとうなやり方と並行的な議論になっているのかもしれないが、わたしにはそのように思われた。

また、ここは飛ばして読んだのだが、Gauss積分の公式の導き出し方の証明が5つほど与えられていて、これはよく知られた2重積分に変換する方法ではない。

また、以前から何回かN先生の草稿のコピーを頂いているのだが、彼の微積分の再構成した書が早く出版されることが望まれる。