Gaussの定理、Stokesの定理等の導出に関心をもっていると最近のブログで何回か書いてきた。
これらの定理の意義はすこしづつわかってきた。それはGaussの定理の場合ならば、体積積分を面積分に書き換えたり、その逆に面積分を体積積分にすることである。また、Stokesの定理の場合ならば、面積分を線積分に置き換えたり、その逆をすることである（注）。
歴史的にそのような事実に、誰がどうやって気がついたのかはまだわからない。しかし、そういう機能をもった定理であることだけはおぼろげながら、分かってきた。もちろん、これはKreyszigの『線形代数とベクトル解析』（培風館）に書かれている。
どこで読んだのかは覚えていないが、ベクトル解析のもともとのルーツはGaussの曲線と曲面の数学にあるとかも知った。それでか、どうかは知らないが、Kreyszigの書には曲面についてのサブセクションがある。もっともKreyszigの『線形代数とベクトル解析』には、どうしてこのことの説明があるのかはあまりはっきりとは書かれていないのだが。
戸田盛和『ベクトル解析』（岩波書店）にも曲面についての一章があり、そういういきさつを知らなかった私はなんでそういう章があるのだろうかと思い、面倒で余計なことだという感想しかもたなかった。
戸田先生がそういうことをよくご存じだったのかどうか。少なくとも参考文献にKreyszigの上書をあげておられるから、そういうことをご存じだったのであろう。
武藤義夫『ベクトル解析』（裳華房）を読んでみると、どうもその証明は微分形式でのGaussの定理、Stokesの定理へとつながって行きそうに感じた。少なくとも表向きはそういう風な言及はまったくないのだが、そういう雰囲気がなんとはなく感じられる。
ちなみに、戸田先生の『ベクトル解析』には、この武藤著の『ベクトル解析』が参考文献の最初にあげられている。
（注）この書き換えが何か利点があるか。
面積分よりも体積積分のほうがひょっとしてやさしかったり、逆に体積積分よりも面積分のほうがやさしかったりすることがあれば、随時に書き換えができれば、その利点がありうる。ここまではっきりとはKreyszigの書には書かれていなかったかもしれないが、そういう可能性があるということだろう。