二項定理の導出法のいろいろという題でエッセイを書いている途中だが、これが書きあがらないうちにどうも一編のエッセイでは意を尽くせそうにないとわかって、その２を書くことにした。
前にも述べたことであるが、(x+h), (x+h)^{2}, (x+h)^{3}, (x+h)^{4}, ・・・等から(x+h)^{n}の展開を導くという方法での導出で、いまのところソーヤーの本に３通りの方法が書かれている。
しかし、ソーヤーの本の方法でもx^{3}の係数までで終わっているので、x^{4}の係数まで計算したいということで昨夜寝る前に計算したら、なんとか計算ができた。
それで、もう一つの方法でやはりx^{4}の係数まで計算できるとその2が書けるのだが、まだこれには成功していない。
どこが悪いかというとどうも多項式のnの順番というか次数というかがあっていないのである。これは多分項数の数え方があっていないので、項数さえあえば、正しい答えが得られると思う。
もう一つこれはまだ証明できていないことで、エッセイにおいては一応わかっていることとするつもりだが、数列の階差数列を調べてみて、第n階差数列が同じ数になれば、その一般項はn次の多項式で表されるという事実である。これはソーヤーにも証明は載っていない。この事実は使っているのだが。