線形代数の学習目標

としては3つあるといわれる。

一つは行列のランク（階数）を求めること、私などは大学の数学といえば「線形代数と微分積分学」の２つになる以前に学生時代を送ったので、行列のランクの概念がわからなかった。

最近では1次連立方程式の係数行列とその拡大行列を、行列の基本変形という手段で階段行列に変形していくが、その変形によって、行の要素がすべては０ではない階段行列の数がその行列のランクである。

もし、係数行列とその拡大行列のランクとが等しく、さらに１次連立方程式の未知数の数とが等しいときには１次連立方程式は解が一意的に決まる。

しかし、係数行列と拡大行列のランクが等しくてもそのランクが未知数の数よりも小であるときには１次連立方程式の解は無数にある。

また、係数行列のランクが拡大行列のランクよりも小さいときには１次連立方程式の解はない。

これが線形代数を学ぶ一つの山の第１のものである。

つぎの線形代数の山は固有値を求めることである。これが線形代数の第２の山である。

そして第３の山はいうまでもなく、行列のジョルダンの標準形への変形であるという。

第３の山には到達しないとしても線形代数を学ぶならば、すくなくとも固有値を求めるところくらいまではやっておきたいというのが、線形代数の学習の目標になっている。

私などが大学では学ばなかった行列の基本変形が普通にどの大学でも少なくとも線形代数を学び人には教えられるようになっている。このことを知ったのは大学のときに有限要素法のセミナーを学生としていたときに、学生から教わったものである。

私が自分の大学時代での数学の学習では、行列のランクをまったく理解できなかったのが、目で見えるような形で行列のランクが定義されているのを知った。大学の数学教育も進んでいることをはじめて知った機会であった。

必要条件、十分条件

についてわかりやすい説明を書いた文献はないかと問われた。そくざに知りませんと答えたが、それは尋ねた人にあまりにも不親切だと思って、自分のもっている数学教育上で知られた幾人かの人の本を調べてみた。もっとも索引にある人のその説明を見ただけなのだが、説明が分かりやすいと感じたものはなかった。

どの本もこの必要条件と十分条件について書いてはある。しかし、それがわかりやすいとの判断はできなかった。これは何をしめしているのであろうか。

そもそもどういう人たちの本を調べてみたかというと、数学教育の権威でもあった、遠山啓さん、現在も存命で活躍されている、武藤徹先生の書、松坂和夫先生の本、志賀浩二先生の本、その他である。もちろんそれらの説明は懇切ではある。だが、私にはわかりやすいとは思えなかった。いや説明を読めば、それなりにわかりやすく書かれてあるのだが、もう一つだと思われた。

ということは簡単明瞭でわかりやすい説明など存在しないのではあるまいか。それでいくつかの例を挙げて説明をするしかないのではないかと思われる。必要十分条件に関しては現在では集合の含むとか含まれるとかに関係して説明がされており、いくつかの例を調べてそれで納得するしかやりようはないと思われる。

だが、絶対にわかりやすい説明ができないということは、もちろん言い切ることはできないので、あくまでそのような説明ができないかをいつも試みてみる必要はある。教育というのはそういう意味ではなかなか終わらないものだ。

トランプ大統領の行為

はなんでもまわりの国とか世界とかを困惑させているようだ。

アメリカ大統領は自国のいろいろの機関に対してすべてではなくてもある程度信頼をしていなくてはならない。ところが、ロシアに行って自国の機関に対して疑義を呈したかのような発言をする。まっとうな人とは言えないと誰でも判断するであろう。

パリ協定からの離脱やTPPからの離脱はそれを示唆していると思われたが、今度ばかりはアアメリカの情報機関よりもロシアのプーチン大統領を信頼したかのような発言であったらしい。

クリミヤ併合でロシアはG8から排除されたが、それを認めないというような感じの発言であるらしい。プーチン大統領は喜んだかもしれないが、ちょっとリップサービスが過剰すぎたようだ。

EUの首脳はトランプ大統領の扱いに困り果てている。世界恐慌に至らねばよいが、さてどうなることやら。アメリカは好況とかいうが、それもバブルだという人もいるようだ。