最近になって気づいたことだが、

最近になって気づいたことだが、私の従姉弟の子どもで結婚していない子が多い。

私の姪にも結婚しなかった子が一人いるが、そういう時代になったということであろうか。昔なら、適齢期になったお嬢さんがいれば、それに見合った男性を紹介する人がいたものだが、そういう人はほとんどいなくなった。

7月15日から4日ほど久しぶりに帰郷していた従弟の二人のお嬢さんは二人とも結婚していなくて、独身だという。それでも肩身が狭くは感じないから、私の感覚も近代的になっているのだろう。

これらのお嬢さん方が優れていないわけではない。優れた才能や資格を持った方々なのだが、自分のまわりに適当な男性がいなかったのかもしれない。

私にも５歳の孫娘がいるので、彼女が将来すてきな伴侶を見つけることができるのかどうか今から心配している。

こんなことを書くと「お前は女性は子供を産む機械だと思っているのか」などと反発を招くかもしれないが、そういうつもりは全くないことも、ここで言っておきたい。

人生に対する考え方が私たちの若いときとは違ってきているのだと思う。しかし、一方で家庭をもったり、子どもを育てたりする楽しみもあるのだともいっておきたい。

現代は、女性が家庭かキャリアかのどちらか一方を選ばなければならないという時代ではない。そのどちらかを選択せざるを得ない方々も日本にはまだたくさんおられるのかもしれないのだが、そういう社会がいいはずがない。

気力がやはり必要だ

暑いので、体がばて気味である。

それに気力がもう一つわかない。いや、いつあの世に行ってもおかしくない老齢なのだから、気力がなくなるのもしかたがないかもしれない。

しかし、原稿を書くことを職業としているわけではないが、それに近い立場にあるのだから気力をもてないのはちょっと困ったことである。

ふだん睡眠はよくとっているのだが、土曜日の晩というか日曜日の朝方というかはほとんど一晩眠れなくて朝近くまで起きていた。これはあまりのまない缶ビールを夕食に一つ飲んだためらしい。

眠れないので、しょうがないから、ずっと以前に書いた自分の本『数学散歩』を読んで、その余白に赤のフリクション・ボールでその後自分の考えたこととか、知ったこととかを書き込んでいた。

三角関数の加法定理についてだとか、三角関数の還元公式についてだとかである。

いずれはこれらは自分でlatex入力して電子書籍にしたいと思っている。

それも高校数学の学習書としてである。

ここでいう高校数学の学習書とはいわゆる受験参考書みたいなものを目ざすのではなく、もっと広い意味のつもりである。いわば趣味の高校数学とか、高校数学の教材研究といった趣旨である。感覚としては高校数学の資料集といったものを目指している。

日本人は一般的な教養が高くて、こういう趣向の本も最近はけっこう多い。自分の書くものが商業的に成功するなどということは目指していない。だが、あまり突っ込みができていないところを徹底して調べたいという気持が私にはある。

たぶん、私の友人などでもあきれてしまうようなことに、私はこだわる気持ちがある。

『数の概念の拡張』を読み返す (2)

『数の概念の拡張』（森北出版）の第4章「四元数」の13節「４元数」のところを昨日読んで、今日は14節「4元数の幾何学的応用」のところになったのだが、ここはけっこう長いので、なかなか読めそうにない。

この節は13ページもある。12節、13節は昨日夢中になって読んだのだが、14節はすぐには読めそうにない。

もっとも、この節に書かれてあることはほとんど、小著『四元数の発見』にすでに書いておいた。2014年かその以前に『数の概念の拡張』の４章を読んだのだが、よくわからなかったという印象しかない。

もっとも今読んでみると重要なことが書かれていると思う。もっともこの書き方では四元数に関心がある人でもよほどの数学好きの者でなければ、四元数の幾何学的応用はよくわからないと思う。

その辺をかみ砕いて書いた小著『四元数の発見』の方が読みやすいと思う。なにせ高校生でも読める四元数の本であるから。もっとも私の本でも数式アレルギーの人には読めないかもしれない。

数式などなんてことはないものだという心構えだけは必要である。

アセスを買いに行く

そろそろ歯磨き剤のアセスが少なくなったので近くの薬局に買いに行った。

今朝は曇っていてそれほど暑くないからと思って出かけたのである。行くときは曇っていたので湿度は高いと思ったが、暑くはなかった。

だが、帰りは日差しがさしてきて、大汗をかいた。それでしかたなく着替えをしたのだが、それでも暑い。

いまパソコンに入力しようとしているのに汗が腕にしたたっている。こういう風になることは珍しい。もちろんエアコンはつけているのに。

ポントリャーギンの『数概念の拡張』を読み返す

ポントリャーギンの『数概念の拡張』を読み返すとはいっても全体をはじめから読み返すなどということをしているわけではない。

四元数の章を読み返している。もっとも昨日読んだところは「四元数」の章の「ベクトル空間とユークリッド・べクトル空間」の節である。

ベクトル空間の節はやはり難しい。もっとも以前よりは理解が進んでいることは確かである。

だが、それでもまだ確かにわかったという気はしない。もっとも違う本を読めば、違った書き方がされている。

抽象的な書き方の本もあれば、具体的な行列しかでて来ない本もある。

日本のこういう文化はやはり独特なところがある。そこが日本の教育の長所でもある。

７月も半ばにさしかかった

７月も半ばにさしかかった。

昨日くらいから風がよく吹き始めた。暑いのは暑いのだが、風が吹いて気持ちよくて、昨日はエアコンをかけないでもすませた。ただし夜は９時過ぎにエアコンをかけた。

昼間に温度計を見たら、２９度か３０度でいつもとは変わらない温度なのだが、体感気温としては風によって２－３度低く感じられたのであろうか。

今日もなかなか日射は厳しく感じられるが、風は少し吹いているようだ。昔、大学に勤めていたころ、大学の宿舎に住んでいたが、８月５日を過ぎると海風が吹くようになって涼しく感じるようになった経験をもっている。

この宿舎のあった場所での風は北風であったが、現在感じている風は西風である。同じ松山でも住むところによって風の向きは同じではない。

もっとも大部分の松山の方は風としては海から吹く西風であろう。

7月の子規の俳句

７月も今日は１２日となった。恒例の７月子規の俳句を書いておこう。

　　雲の峰白帆南にむらがれり　　　子規

　　towering cumulus clouds 

       white sailboats

       gathering in the south                 (Shiki  1895)

カレンダーにはしまなみ海道でも美しい橋の一つとして知られる、多々羅大橋の写真がついている。もっともこの写真にはヨットの白い帆はまったく写っていなくて、モーターボートの白い波が二つ三つ写っているだけである。

雲の峰は写されてあるのだが。

四元数とベクトル空間

複素数は２次元のベクトル空間とみなせるのと同様に四元数も四次元のベクトル空間ともみなせる。

こういう視点から、『四元数の発見』の第６章を書きなおさなければならないのだが、今に至るも書き直せていない。

これは私の四元数の理解の道程を反映しているので、仕方がなかったが、すでに原稿を読んでもらったKさんに指摘されていたところである。

彼の指摘は端的には四元数の直交性が指摘されていないとの見解に表現されている。実はそのことに実は私が半年近くも悩んでいたことであった。

数学者のNさんにこのわからなかったことを話して助言を求めたのだが、私の言い方がわるかったらしく、Nさんからの助言は得られず、悶々とした半年がすぎた。

これは私が依拠していた、ポントリャーギンの『数の概念の拡張』（森北出版）の中にも明確に書かれていなかった。説明がなかったのではなく、あったのだが、私はそこを理解できなかった。

ここの章をそろそろ、きちんとか書き換えなくてはいけない。

三角関数の加法定理の歴史上の初発見は？

三角関数の加法定理の歴史上の初発見について述べたものはあまり見たことがないが、宇沢弘文さんの『好きになる数学入門』（岩波書店）３巻に幾何のプトレマイオスの定理が加法定理のことだとの説明がある。

数学史の本にそのような説明がすでにあるのだろうが、私はあまりそのような記述を読んだ覚えがない。

上に述べた本の当該箇所は前に読んだことがあるらしく鉛筆で図に書き込みがしてあるのを発見した。これについてもいつか詳しく説明をしたいと考えている。

三角関数の加法定理（一般角での）2

昨日は日曜日であったので、一日リビングの椅子に座ってのんびりしていた。

しかし、関心は三角関数の加法定理（一般角での）にあるのはいうまでもない。それで土曜日までに書いたその原稿の草稿を見直していた。角度A+Bが第４象限のあるときの図はまだ描いていないが、第３象限までの図は描いてある。

これらを見ると、余弦定理と２点の距離を求める方法での三角関数の加法定理（一般角での）の導出も問題なくできそうに思える。この普通に一番流布している導出法はcosの加法定理は導けるが、これをsinの加法定理にするときは還元公式を使う必要がある。

それがちょっと嫌な感じがしている。そういう私の気持は自分の考え方が頑ななのであろうか。

参議院議員選挙の結果

まだ最終的な結果をよく見ているわけではないが、私の応援している A さんは落選した可能性が大きい。

比例区の候補であり、２回続けて当選していたが、今回は難しかったかもしれない。テレビのコメンテーターをしていたときには何十万票も獲得していた人だが、なかなか厳しいものである。

もっともこのAさんも３回目の時にようやく当選したと思うので、また新規巻き直すをされるのかどうか。

議員さんも当選しなければ、ただの人ということである。厳しい、厳しい。

C.N. Yangが100歳を迎えた

C.N. Yangが100歳を迎えたらしい。

有名な物理学者の楊振寧(C. N. Yang)が１００歳の誕生日を迎えたらしい。これは今年の６月８日のことであったらしい。

シンガポールで彼の１００歳を記念するシンポジウムがあったとWorld Scientificからメールが来た。Proceedingsが今年中に発行されるらしい。

私の学んでいた、H大学の研究室にも国際会議の後にUKのKemmerと一緒だったかで来られたと思う。

彼がノーベル賞を受賞したのは私が大学に入学した前年の1957年であったと思う。今年100歳ならば、1922年の生まれなので、３５歳くらいの若い受賞者であった。

彼と共同受賞したT. D. Leeは彼よりも数歳若いから、３０歳をちょっとすぎているくらいであったことになる。

数年前にF. J. Dysonが94歳くらいで亡くなったから、それよりもYangは年上であったことになる。

ブル－バックス『数の世界』と『複素数の広がり』

ブル－バックス『数の世界』と数学ガールの秘密のノート『複素数の広がり』はそれぞれよく読まれている本である。

これらの本の成功におめでとうと言いたい。これらの本の成功の秘密は『数の世界』の著者の松岡学さんと『複素数の広がり』の著者の結城浩さんの書き方がいいのがその理由である。

しかし、これらの本には私の著書である『四元数の発見』が巻末に参考図書として引用されており、これらの著者にも私の著書がいくぶんかの影響を与えたのではないかと思われる。

このどちらの書にも球面線形補間への言及はなく、その点では私の書はこれらの著者には球面線形補間というテーマについてはあまり影響を与えなかったと思われる。球面線形補間の説明をした本は私の本が始めてではないかと思っている（注1）。

私の知る限りでは球面線形補間について書いている本は翻訳書でなければ、金谷さんのクォータニオンの書籍くらいしか知らない。しかし、これはちょっと説明が十分ではない。増補版にはきちんとした説明が書き加えられたのかどうかは増補版を見ていないので、わからない（注2）。

そうそう忘れていたが、『3Dグラフィックスのための数学入門』にも球面線形補間のことは書いてあるが、これは説得力のある説明ではない。もっともこの本の特色はスプライン曲線の説明等にあるので、本自身の価値は球面線形補間以外のところにあるかと思われる。

（注１）もちろん、インターネットのサイトでは私の説明よりも以前に球面線形補間の説明が存在した。これの、いろいろな方法での説明は私がはじめてしたと思っている。

（注２）もちろん、球面線形補間を本において説明を試みたのは金谷さんの本の方が私の本よりも断然早い。しかし、この説明は不十分なものであり、これで納得した人はいなかったのではなかろうか。これは金谷さんのインターネット上での説明でも同じである。少なくとも私には納得できなかった。そういう意味で誰にでも納得できる説明を書籍上でしたのが『四元数の発見』だったと思う。

なお、インターネット上での金谷の説明のきちんと筋の通った説明を私は最近見つけた。これは「数学・物理通信」12巻5号か6号で掲載予定のエッセイで行うつもりである。これは９月に発行されるであろう。

(2022.9.21付記) 　上に書いたが、球面線形補間の金谷の導出法の完全な説明は「数学・物理通信」12巻5号の私のエッセイで与えた。関心のある方はインターネットで「数学・物理通信」を検索して見てください。

さらに、このエッセイの査読において、Sさんから別の球面線形補間のわかりやすい導出法を教示された。このことも私のエッセイの付録に書いておいた。Sさん、ありがとうございます。

従弟からの手紙

もう何年もあっていない従弟から手紙が来た。しばらくぶりに帰省するので、少しでも暇があれば、会えないかという。

お互いに８０歳近くになったり、８０歳を越えていたりするので、いつ生死の境を異にするかも知れない。

子ども二人との帰郷だという。私などは郷里との距離が比較的近いので、あまり故郷という感じがしないのだが、遠く離れている人には故郷はいつになってもいいものであろう。

昨年だったか、今年の春だったか、この従弟の姉も電話をかけて来て、ホテルで久しぶりに会った。この家族はなかなか特色があって、従姉の二女さんが海上保安庁の職員であった。

この従姉はお墓を郷里に買ったということでの帰省であった.。

フリクションボールの替え芯

昨夜の遅く計算を進めようとしたら、フリクションボールのインクが切れてしまい計算が続けられなくなった。

それで、作業を諦めて就寝した。今朝先ほど近くのコンビニに替え芯を買いに行った。それも計算に使う黒い芯だけではなく赤い芯も買った。

合わせて660円である。高くはない。それにしても私の生活の大部分がこのフリクションボールと共にある。

いまほど替え芯が一般的でないときはフリクションボールの新しいものを買っていただのが、それはけっこう高価であった。だが、このフリクションボールが一般化したのか、替え芯がコンビニで売られるようになった。おかげで助かっている。

日本ではこのフリクションボールは流行になるのが遅かったが、ヨーロッパでは早く流行していたとか昔テレビで見たような気がする。

それまでドイツ製のシャープペンシルを愛用していたが、そのシャープペンシルとおさらばした。