先日の数学の問題だが、

先日のこのブログで助力をお願いした、数学の問題だが、まだ解決しない。昨日の日曜日を午後をそれを解くために使った。午後妻がつけたテレビのアメリカのシリーズのドラマを見ていたのだが、いつのまにか夫婦で熱中していた。それでも解けない。p=14またはp=16とすると解は５つも出てくる。

２数の和 p を偶数としたのはちょっと行き過ぎたかもしれないが、

やはり p は偶数であるようだ。pと２数の積qとからできるp^{2}-4qが４の倍数であるという考えも浮かんではいる。

しかし、唯一の解にするためのアイディアがでない。それで解の候補が４つないしは５つあることから、絞り込めてい

今日の朝食後には妻がスマホでチャットGPTに尋ねてみたが、答えは全体の解答の内容が自己矛盾するもので到底認められることができない。もっともそれらしく推論しているように見せかけてはいるが。

一つ一つの推論は正しくても前の推論と後の方の推論とが矛盾していた。これが現在のchat GPTの限界なのであろうか。

助力をお願いした数学の問題だが、

助力をお願いした問題は解答ができたわけではないが、答えが４つまで絞ることができた。これが唯一の解答にどうやって帰着するのかはまだ見通せてはいない。

大きなヒントの一つは２つの数の和 p は２で割り切れるということである。また(p/2)^{2}-4qは平方に開けてそれが正の整数であるということから解は４つまで絞り込むことができた。ここでqは２数の積である。

pの候補としては１４と１６である。(p/2)^{2}-4qは２次方程式の判別式である。これの平方根をとる必要があるのだが、求める２数は自然数でなければならない。

この条件から解が４つにまで絞られる。最終的な解答はまだわからないというのが正直のところである。

しかし、まったくの混迷からは抜け出せそうである。

自然対数の底 e の導入

「数学・物理通信」に自然対数の底 e の導入の無限連続複利法による方法を自分で書いてなかったかなと思って自分の数学エッセイのリストを調べたが、もちろん書いていた。

これは以前に愛数協の「研究と実践」（２００８．４）という機関誌に書いたものの改訂版である。「研究と実践」は小学校や中学校および高校で数学を教えている愛媛県内の教師の仲間内の配布のサーキュラーであるから、一般の人が見ることができない。それで「数学・物理通信」８巻２号（２０１８．３．１５）にその改訂版を出しておいた。これでだれでもその気になれば、インターネットで検索すれば、無限連続複利法による自然対数の底の導入を詳しく知ることができる。

もちろん、これを私が知ったのは遠山啓『数学入門』上（岩波新書）である。無限連続複利法による自然対数の底の導入は最近では他のところでも読むことができるのかもしれないが、少なくとも私は遠山啓『数学入門』上によって知ったことであった。私以外の人でもそういう人が多いのでなかろうか。

お尋ねしたいです。

つぎの問題を解いてくださいとの依頼を受けていますが、なかなか解けません。

それで世の中の頭のいい人にお知恵を借りたいのです。よろしくお願いします。

（問題）

T：　ここにハートのトランプのカード１から１３までが１枚ずつあります。これから先生が２枚カードを引いて、F君にその二つの数字の積を、S君にその２つの数字の和を教えます。

そして、先生はカードを２枚引いた後、F君とS君に積と和をそれぞれ教えました。教えられた積や和を見て、F君とS君が話しています。

F: 積の情報だけでは２枚の数字が何かわかりません。

S: 僕も和の情報だけでは２枚の数字が何かわかりません。でもF君も絶対わからないだろうなということはわかります。

F:  S君の言葉

を聞いて、僕は先生が引いた２枚のカードが何かわかりました。

S: ということは僕も先生が引いた２枚のカードが何かわかりました。

先生が引いた２枚のカードは何か答えなさい　（問題終わり）

（注）この問題は日本大学のある年の入試問題だったという未確認の情報もある。そうだとすれば、下に推測をいろいろ書いたが、ちゃんとした答えがあってしかるべきであろう。

（解法の方針）

二つの数をxとyとすると、積xyは2=1*2から156=12*13までとなるが、１から１３までの積で数字は1回しか使わないから積の候補は

１＋２＋・・・＋１２＝６＊１３＝７８

ある。このうちで積の２数分解したときの一意性から解の可能性は２８通りにまで絞られる。

これと数の和x+yの２数分解の一意性から決まるものを除くことにすると、さらにいくつかに解の候補は絞られるはずである。最後まで十分に検討していないので断言できないが、それでも解は唯一に絞れないのではないかと推測している。

積の候補は

　　６、８，１０，１２，１８，２０，２４，３０，

　３６、４０，４８，６０，７２

である。この中から６，８、１２，２０，２４，３６，７２は積の候補から外れると思う。それでも積の候補として

　１０，１８，３０，４０，４８，６０

が残る。これらは少なくともまだ２数への分解で二つの候補を持っている。

和の２数への分解の一意性によってさらに制限されるかと思うが、まだ結論がしっかりとは得られていない。

後の解の候補の減らす方策としては

ｘｙ＝q   (q: 一定)

x＋x＝p   (p: 一定)

二つのグラフの交点としての可能性を探るという方法もある。

また２次方程式の解と係数の関係を用いて状況が解が実数という条件から判別式が正という条件から解が制限されるのではないかと思ったが、これは意外と解が制限されないらしい。まだ、すべての場合を調べているわけではないが。

賢明な読者の方にヒントとか解答とかの応援を節にお願いしたい。

（推測）解の候補がもし唯一に絞れない場合にはS君の発言した「F君も絶対わからないだろうと思います」はS君の和の２数分解の可能性が複数あることを示唆しており（それも３つ以上かもしれない）、そのことにF君が気づいてわかったといったすれば、積の２数への分解の一番多い可能性を示唆していると判断して分かったといった可能性はある。

しかし、もしそうだとすれば、これは数学の問題としては少しおかしくはないだろうか。もっとも私の予想していないような明解な解答が存在する可能性もあるかもしれない。

問題の設定がちょっとおかしい感じもする。それは私たちがなかなか解に至らないのに二人の学生がすぐにわかったと返答したことである。少し考えて言ったとかならまだわからないでもないのだが。

昔の自分のブログを読む

毎日、昔の自分のブログを読む。これは他人が私のブログを読んだ記録が残っているのでそれを読むのである。

もしか、表現が修正を要するときは修正もする。それに付加的にコメントをつけたいときにはその日の日付を入れてコメントをしている。この仕事は誰にも要請されたことではないが、している。

一度書いたブログでも言葉遣いがわるいと判断したら、修正を断りなくしている。中国の政治家であった毛沢東が自分の書いた昔の文書でも常に書き換えをしていたと聞くが、それに近い話である。もっとも私は取るに足らぬ元物理屋だという違いはある。

毛沢東は文革で中国に大きな被害をもたらしたことも事実だろうが、それ以前に中国人民民主主義共和国の建国に大きな役割を果たした歴史的な大政治家であったことは事実であろう。

「数学・物理通信」１３巻５号の編集をはじめた

「数学・物理通信」１３巻５号の編集をはじめた。

まだ、目次をつくるところくらいだが、原稿が完成すればpdfの文書を編集して

１３巻５号をつくって点検作業に入ることができる。

９月以降はまったく「数学・物理通信」を休刊して、少なくとも来年の３月まで発行しないつもりだったが、９月と１２月に１号ずつ出すことにした。もっとも９月中には他に号外号をだすつもりである。この号外号は「遠山啓博士の著作目録」（改訂版）である。

号外号はもともと発行予定であった。

少し希望がでたか

少し希望がでたか。

昨日は日曜日なので、自宅の居間で居眠りをして過ごした。その合間に『教養の線形代数』（培風館）の第３章の一部を読んだ。ベクトル空間について書かれた章である。

四元数とベクトル空間との関係を書きたいのだが、その構想が立たないために苦労している。四元数を４元の計量ベクトル空間として見るという観点からの話をきちんと書かなければいけないというのが、『四元数の発見』（海鳴社）の査読者 K さんからの注文であった。

しかし、これはほぼ『四元数の発見』の原稿が出来上がった段階であったので、６章の全体を書き直すことはしないで補注でお茶を濁しておいた。

だが、全体を書き直そうという事態になれば、また新たに考えなければならない。それでいま考えている。

その端緒がつかめない感じだったのだが、すこしつかめそうな感じがして来たという段階である。

なんでも仕事を始めてしまえ

なんでも仕事を始めてしまえば、いいということに気がついた。ちょっとした発想の転換である。

これでこれから半年ほどの予定が立てやすくなった。本の英訳を考えているのだが、そのうちのある章の内容を改訂する必要があることはわかっているのだが、どのように書いたらいいか目途が全く立たない。

だが、翻訳の仕事は簡単に終わるわけではないし、それを進めながら、私の本で言えば、第６章「四元数と回転３」の内容を確定していけばいいのだ。他の章については細かな修正はあるにしても大筋で困る点はないと考えている。

　

「８４歳にしていまさら英訳かよ」という向きもあるかもしれないが、世の中には私の目指すような本はまだない。だが、外国の出版社が出版に値すると評価してくれるかどうかはわからない。

ひょっとしたら、あまりに初等的で出版になじまないといわれるかもしれない。それでも一応英訳して見るつもりである。たった一人しかいない孫への遺産だと妻と笑い話をしている。

これは小著『四元数の発見』の英訳のことである。ある程度英語の文書ができると友人のドイツ人Rさんにも英文の修正をしてもらえるだろう。印税の10%の報酬ということで。ご本人にまったくこのことをお願いはまだしていないが。

ちくま学芸文庫に日本語で書かれた数学のいくつかの有名な書籍がすでに出版されている。それに採用される可能性もあるくらいの本だと自分では『四元数の発見』を思っている。もっとも現在の出版社が出版している限りちくま学芸文庫に出番はないのだが。それに定価も税込みで2,200円でこんなに安い四元数の本はほかにない。

本の定価が安いから内容がわるいのだろうと判断されるかもしれないが、それは読んでから判断してほしい。

三角形の数

昔書いた数学エッセイ「三角形の数」の修正を数日前からしているが、なかなか作業が終わらない。

自分で書いた文章が気に入らないのである。それでいくらでも時間がかかってしまうがしかたがない。やはり自分の仕事をやっておきたいという気がしているからだ。

頭のわるい元の物理屋の書いた文章などだれが読むかとも思うが、自分の気に入るまで手入れをしたいと思う。それでほかの仕事はほったらかしである。まあ明日には終わるだろう。

なかなか本筋に入れない

なかなか本筋に入れない。

線形代数の公理とかそのほかの一連の知識というか定理とかをきちんと理解してそれを『四元数の発見』（海鳴社）に反映をすることをしなければいけないのだが、脇道に外れてばかりいる。

なかなか難しいことは事実なのだが、そもそも線形代数のテクストでそのことを書いたところを読む気が起きないのである。ベクトル空間の公理そのものはどうしてこういう風になったかの理解はできたつもりである。たいしたことではないが、私の判断したようなことを書いてあるテクストを見たことがない。

公理といえども、こういう理由があってこういう風に設定されたのではないかという推測があってもしかるべきだ。事実を事実としてだけ述べるのではこれからのテクストとしては不十分であろう。

前のブログで6700回に到達した

前のブログで6700回に到達した。別に回数を誇るつもりなどないのだが、元気でブログを書けるのは幸せなことだ。

いつも言うように一年で書けるブログの数はおよそ300であろう。これは私は日曜はまったくの休息日にしているからである。6700を300でわると23.3年であることになる。

実は2005年４月末にこのブログを始めたから、19年になるのだが、それよりも少しだけ活動が盛んということになろうか。

昨日ブログを書くことを忘れていた

昨日ブログを書くことを忘れていた。てっきり書いたものと思っていたので。

私にも認知症が進んできたのだろうか。昔の数学エッセイを取り出してきて修正することに夢中だったので、ブログを書くことを忘れたのであろう。

昨日取り出してきた数学エッセイは「視力の基準」と「三角形の数」の二つである。どちらも古い数学エッセイである。

「視力の基準」の方は図がいくつかあるのだが、その一つをどう取り込むかが問題である。古い原稿から図を子ども取り出してもらってそれを取り込もうとしたのだが、枠（バウンディング・ボックス）がないからという理由で読み込んでくれない。どうしたらいいかわからない。

「三角形の数」の方は私が数学エッセイを書くようになった、はじめのエッセイ「家中でクイズを・・・」に関係している。話題は簡単な話で三角形があってその中にも小さな三角形が描かれている。その大小さまざまな三角形の数を数えるというのがその「家中でクイズを・・・」の主題であった。

これは夏休みの小学生のワークブックか何かに載っていたトピックであった。それを家中で協力して解くという話であった。

その後、数学のY先生がそれを数式で表してくれたのだが、それがどうやって導くのかというのが「三角形の数」のテーマであった。

日曜日に数学エッセイの書くネタを

日曜日に数学エッセイの書くネタを見つけた。とはいっても大したことではない。２階の書棚にあった『数学に強くなる法』（ダイヤモンド社）を読んでいたら、田島一郎先生のエッセイに対数に関することが出ていた。

これは先生の所属していた慶応大学の入試に対数の定義を聞く問題や対数の性質を証明させる入試問題がでたが、結構その成績がわるかったという話であった。

それで私は対数の話をかなり数学エッセイのネタにしてきたが、再度ネタにして書いてみようというわけである。

それと吉田洋一先生が0.9999・・・＝１であることを書いていることを見つけた。このテーマはすでに私の数学エッセイのネタになったが、そのときにどの本に吉田先生が書いたエッセイが掲載されているかの出典はを示さなかった。もちろん吉田洋一先生のエッセイで知ったということは書いたが。

そして、そのことは今も果たせていないのだが、少なくとも『数学に強くなる法』にも同じことを吉田先生が書かれていることを知った。

２次元の回転

２次元の回転と書いたが、これには見方が２つある。

一つは平面上で図形を形を変えないで、座標軸の原点のまわりをそのまま回転する。この見方を能動的見方という。対象とする図形を動かすからである。

もう一つは平面上の図形の回転ではなくて、座標軸の方の原点のまわりの回転である。古い座標で見ていた図形も新しい座標でみるというのである（この場合には受動的見方という）。

たとえば、２次曲線だとかだったら、普通に楕円でもその標準形であることは少ないはずだ。だが、主軸に直交座標系のx軸やy軸にあわせているのが普通である。本当なら普通に楕円と思っている図形を４５度傾けてあるのだって普通には存在するはずではないか（注）。

ところが高校数学のテクストで楕円の形で

　　x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}=1

とだけ表されてxyの項のあるものなど高校では教わらない。これはx、y軸と楕円の主軸と合わせているからである。だから本当はxyの項も存在する楕円だって普通には存在するわけだ。

（注）主軸とは長軸と短軸をいうが、長軸をx軸に合わせ、短軸をy軸に合わせて、それを数式で表したのが上に書いた楕円の標準形である。

想像してほしいのだが、普通にあなたが知っている楕円をたとえば、x軸から４５度反時計方向（時計の針の進行方向とは反対に動かす）に回転したものを思い描いてほしい。このときには元のx、yで表すとその楕円はxyの項もあるものである。

（２０２３．９．２付記）もちろん、主な関心は３次元の回転である。だが、簡単にその２次元回転が導けるからだろうが、その導出の記述がなかったので、どうだったかなと調べてみた。

一つは佐藤光さんの『群と物理』（丸善）である。これは演習問題になっていて、解答がなかったが、図が出ている。それを頼りに考えたらわかった。これは導出がやさしい。

もう一つは何を見たのか覚えていないが、やはり高橋康『物理数学』（講談社）にも導出は書いてなかったので、他の本を参照した。古い座標を新しい座標で表すという方法で書かれていた。難しくはないが、少し計算が必要だ。

回転群とローレンツ群

ローレンツ群などには関心はなかった。

それがこのところそこまで踏み込まないといけないのではないかと思い始めている。回転群はローレンツ群の一部だという。

これはこのところ関心をもったスピノルとの関連がある。だから、回転群とか剛体の運動学（ゴールドスタイン『古典力学』（吉岡書店）第４章）だとかそのほかの文献を読んでまとめておきたいと考えるようになった。

根気のない私の考えたところだから、その根気がいつまでもつのかわからない。明日にもそういう好奇心は消え失せるのかもしれない。