環と体との区別

環とか体とかいうのは数学の話である。

体というのは普通の実数とか複素数とかで加減乗除ができる場合は体をなしている。すなわち、数の０とか１とかが存在している。

代数では引き算は足し算の逆演算であり、一つの演算とみなされる。また割り算は掛け算の逆演算であり、それらも同じ演算とみなされる。

体では加法と乗法という二つの演算があるが、これは環でも同じである。ただ、環では「体で存在する数０以外の数の逆数が存在しない」。ところが体では「 0 以外の数に対してはその逆数が存在する」。

とはいっても、それは実数とか複素数に対してであり、数を整数に限ると逆数の存在は１以外にはない。１だけは自分自身の1が逆数である。

それで整数の全体は環（整数環という）とはなるが、体とはならない。

数学では整数は整数環をなすという。環の一番いい例が整数の全体である。

体と群の定義は知っていたが、環はその定義が私にはどうもはっきりしていなかった。

いま疑問に思っていることは、四元数の全体は斜体をなすが、普通には多元環だとされている。

図書館での分類法によれば、私の書いた『四元数の発見』は多元環という項目に入っており、そのころは多元環の定義を知らなかったので、図書館の司書さんはえらいものだと思った。

『現代数学教育事典』（明治図書）によれば、複素数の全体と四元数の全体は多元環の一番よく知られた例であるという。

「数学・物理通信」８巻８号

を発行するかどうか迷っている。10月3日になったので、時間がとれるようになった。

昨日、午後に共同編集者の N さんを訪れたが、彼の原稿ができあがっていなかった。時間的にはもう１が月半くらい待ったのだが、latexの入力がうまくいかなくて頓挫しているらしい。

それで彼の論文も載せるつもりで、今まで待ったということもあるのだが、しかたなく見切り発車すべきかどうか迷っている。たぶん分量的には十分な量の投稿はあると思うのだが、まだ十分に確かめてはいない。