昨夜、戸田盛和先生の『エントロピーのメガネ』の第2章を読んだ。この章は状態（場合）の数 W の対数をとることから、それがエントロピーの数学的定義であるというところを読んだ。前にもこのブログでも書いたが、エントロピー S は
S=k log W
で与えられる。これをボルツマンの原理というと述べた。
だから、log W はエントロピーの数学的定義といってもいいだろう。もちろん、それにある種の定数がかかっているとしてである。熱力学とか統計力学ではこの比例定数はボルツマン定数といわれる定数である。
戸田先生はあまり難しい数学をつかわないで、エントロピーを説明しようとされている。一晩に一つの章を読むくらいしかできないのだが、もっと早くこの本を読んでおくべきであった。
大した土地、不動産とかなにかを所有しているわけではないが、それでも毎年5月はその税金とか保険の支払いに困る。それで妻がいつもお冠である。その気持ちはわからないでもない。だが、火災保険とか地震災害保険とかがいらないことにはならないから厄介である。
保険会社は5年の長期の保険をかけさせたがるのは、自分の会社の利益を確保するためであろう。それがだんだん保険料が高くなってくる。いままで保険が安すぎたのですとは保険の代理店の言い分だが、そうだろうか。5年前の契約だと2013年の契約だから、すでに2011年の東北大震災があった後だから、保険料の再評価はすでにされていたのではないかと思われる。
だから、保険会社の代理店の言い分は本当かどうかは疑わしい。現在の政府の経済政策のために保険会社の利益を出すいままでの仕組みがうまく機能しなくなっていることを示すものではないだろうか。
リフレ政策は他にやりようがなかったかもしれないが、どうも保険会社や銀行を窮地に追いやっているのではないか。それで保険料が上がっているのではないかと邪推したくもなる。
だいたい、最近日本一の製薬会社がアイルランドの製薬会社を買収しようとしたり、フジフィルムがゼロックス社を買収しようとしたりというようなことが行われようとしている。これが生き残るために必要なことかもしれないが、どうも独占資本主義の末路を表しているような気がする。
ものを生産してその製品を売って、利益を得るという単純な構図はもう成り立たないのか。
いつか、雑談会で聞いた話では大企業の経営者はいわゆるM&Aしか考えていないとか聞いた。この話をしてくれた方は私よりはまだ10歳くらい年上の方だったが、娘婿がシンガポールかどこかの会社の社長をされていたとかいう。
『エントロピーのめがね』という、戸田盛和先生の本を読み始めた。これは前から自分がもっていた本である。とはいっても、インターネットの「日本の古本屋」で以前に購入してあった。もっとも最初の章だけを読んだだけである。これは竹内淳さんの『高校数学でわかるボルツマンの原理』を読んだためである。
するすると読める本だが、いま別の本を読もうと思っているので、読み進めないかもしれない。エントロピーとはなかなかわかりづらい概念であって、統計力学を学ぶ前にはまったく理解できなかった。
戸田先生もエントロピーの概念が物理で使われるときと、世間一般で使われるときとで、ちょっと概念がずれているというふうに書いておられる。だが、それを統一しようとかは思っておられない。
中沢新一さんが東京大学教養学部の先生として候補に挙がったことがあったが、そのときに彼の使っているエントロピーの概念がまちがっていると指摘した、学者がおられた。
これなども戸田先生のどういうコンテキストでエントロピーという概念を使うかということと関係をしていたのだろう。このときは中沢さんが先生として選ばれることがなかったので、ことは収まった。
ほんとうは『エントロピーのめがね』（岩波書店）を読み続けたいのに、どうも読む時間がとれないという気持ちのアンバランスがいま私の心にある。
4度目の記事を『高校数学で分かるボルツマンの原理』（講談社ブルーバックス）のよかった点を書く。
第3章の「エントロピーとは何だ？」のところに「大きな系に入った小さい系の向かう方向とは」という節があり、内部エネルギーU, 絶対温度T, エントロピー S, 圧力 P, 体積 V という体系の熱力学変数があるが、「２つの変数を一定にすれば、必ずこう変化する」関係が得られるとして、
つぎの4つの場合が考えられている。
E, Vを一定にする場合： \Delta S>0 となる方向
S, V : \Delta E<0
T, V （等温等積過程）: \Delta F<0
T, P （等温等圧過程） : \Delta G <0
これらは化学の反応がどういう方向に進むかについての知識を与えてくれる。この説明があるのはいいと思う。
自分の原稿がほぼできたので、ようやく他の人の投稿原稿のことを考えられるようになった。
今回は２つの数学エッセイをかいたので、二つとも投稿するつもりである。他の方の投稿でちょっと内容をみたり、手直ししなくてはならないものもあるかもしれない。
これは N 先生の原稿のようにまったくきれいにできあがっている原稿ばかりではないからである。そのような原稿は拒否するというのも一つの手かもしれないが、そうとばかりはしたくない。
共同編集者の N さんが一時入院したりした突発事項もあったが、N さんも無事に退院したので、そろそろ編集して彼に編集後記をお願いする時期である。さてどうしたものか。
昨日の日曜にもアクセスが150台にも落ちなかった。日曜日にアクセス数が200台をキープできたのは本当に珍しい。
土曜日にアクセス数が300を超えたのはこれまた珍しい。どうしてこういう結果になったのかはわからない。つづけて、竹内淳さんの『高校数学でわかるボルツマンの原理』のことを書いたのがよかったのだろうか。
というか熱力学や統計物理学はけっこう難しい科目であるということもあるかもしれない。それについて書いた、このブログはこれらの科目を学ぶときのヒントになろろうか。同じ科目を学んでも、教える先生がよければ、その先生が勘所をやさしく教えてくれるので、その科目が得意になったりする。
竹内淳（あつし）さんは中村伝先生に統計力学を教わったと書いてあったから、竹内さんはいい先生に統計力学を教わったのだと思う。私も中村先生の『統計力学』（岩波全書）をもっているけれども読んだことはないが、いいテクストだろうとは思っている。
三度、『高校数学でわかるボルツマンの原理』を最後まで昨日読んだ。最後までといういい方はおかしいかもしれない。というのは一番初めの章を一番最後にして、まず第2章「夢のエンジン」の章をさきに読んだからである。
この本ではカルノーのサイクルのことを夢のエンジンと言っているのだろう。この第2章が一番長くて52頁から104頁まである。ここを読み終わったので 最後に第1章の「天を目指す人々」を読んだ。この章は気体の性質について述べられていて、私はどうもはじめ読む気がしなかったが、理想気体の性質とかが書かれてあり、熱力学や統計物理学に詳しくない人に対する導入としてはいい書き方だったと思う。
だが、私みたいな第3章の「エントロピーって何だ？」を読んで、続いて第5章の「統計物理学の世界へ」を読み、つぎに第4章「気体運動論」、第６章「ボルツマンの原理」，第2章「夢のエンジン」、第1章「天を目指す人々」を読むのは一つの読み方ではないかと思う。
この本はテクストではなく、読み物なのでこういう読み方も許されると思う。だが、これを読み進めることができれば、きちんとしたテクストもちょっとした努力で読み進めることができると思う。
私みたいに、あまり熱力学や統計力学が得意でない方々にも勧められる読み物であろう。この本は成功していると思う。この本でたらないところは、ちゃんとした熱力学のテクストで補足したらいいであろう。
(2019.5.22付記） 本をまともな順序で読むことは私には少ない。たいてい関心のあるところから読むからである。なかなか関心の出ないところは読めない。哲学者の鶴見俊輔さんの岩波新書を終わりから読んだのが、こういう読み方をするはじめであった気がする。
その後、鶴見さんと彼の晩年に面識を得たが、そのときに読み方が君はおかしいとも言われなかったから、読み方はそれぞれでもいいのであろう。
アポリネールの「ミラボー橋」の詩の最後の1節を引いておこう。
Passent les jours et passent les semaines 日々が過ぎ、週また週が過ぎて行き
Ni temps pass'e 過ぎた時も
Ni les amours reviennent 恋もまた戻って来ない
Sou le pont Mirabeau coule la Seine ミラボー橋の下 セーヌが流れ
Les jours s'en vont je demeure
Vienne la nuit sonne l'heure 夜よ来い 時鐘よ打て
Les jours s'en vont je demeure 日々は去り行き私は残る
Appollinaire アポリネール
岩波文庫『フランス名詩選』266頁より
昔、この歌はシャンソンとしてNHKのEテレで聞いたことがあった。
について書くのは今回が3回目だろうか。昨夜、最終章のボルツマンの原理の導出のところを読んだ。こういう具合に、ちょこちょことしか読めないのは他に原稿を書いていたりしているからである。
この原稿は私にとっては3度目となる、3次元ラプラス演算子の極座標表示についての数学エッセイである。一応書き上がっているのだが、チェックをしたり、見直しをしたりしている。もっともこれからが結構な時間がかかる。
話を元に戻すと、昨夜読んだのはエントロピー S と場合の数 W との関係 S=k log Wとが導かれたいきさつのところであった。これはウィーンにあるボルツマンの墓に書かれている数式だという。
さらに、分子が実在するのかどうかについてはボルツマンとマッハらの間に論争があったという。その論争に疲れたためかどうかはわからないが、ボルツマンは自死をしてしまう。
だが、分子が実在するという論に加担したは、あのアインシュタインであり、そのブラウン運動についての論文はフランスの物理学者ぺランによって実験的に実証され、分子の存在を疑う人はいなくなった。だが、その前にボルツマンはすでに亡くなっていたという。
この本には中心極限定理のことも言及されており、それは難しい数式抜きで説明がされている。
S=k log Wの導出については3段階に分かれて説明がされているが、話の筋を追うことはできたが、もう一つ使う式とかをどういうふうに説明するかというようなことはこの本の説明がわるいというわけではないが、もうちょっと補足されるべきだと感じた。もっともこの本には制約があるだろうから、それはこの本の欠点だとは思わない。他の本を読んで補足すべきことだろう。
第4章の気体分子運動論のところももちろん読み終わった。つぎには第2章と第1章の読みが残っている。
この書を読み終わったなら、竹内淳さんの書いた、『高校数学でわかる半導体』（講談社ブルバックス）へと進みたい。私の半導体の知識はもう数十年ほど前になるが、学生実験の指導書をひと夏かけて書いたときに読んだ、いくつかの文献による断片的な知識以外にはない。
とまで言ってはどうかと思うが、先日から『高校数学で分かるボルツマンの原理』（講談社ブルーブックス）を読んでいる。昨日はようやく統計力学の章を読んだ。これはほぼ大学で学ぶくらいの内容である。
使ってある数学は私には難しくはないが、これは高校数学のレベルを部分的には越えているのではないかと思う。まえがきに書いてある物理の内容は大学レベルだと書いてあるが、それはまちがいがない。私みたいに気が短くて、すぐに核心に入ってほしい人にはこの本は都合がよくできている。
気体分子運動論の章を飛ばして、統計力学の章を読んだことはやはり正解であった。気体分子運動論は歴史的にみたら、革命的なのだろうが、私にはあまり感銘を受けなくなってしまっている。統計力学のところはそれらをすでにほとんど知っているにもかかわらず、私にとって読んでいても興味深い。
その一部は私が大学に勤めていたころには教えたこともある内容であるから、懐かしかった。ということで今朝起きてから、朝食の準備をする前には昨夜の続きで、気体分子運動論のところをちょっと読み始めた。とくに新しいところはないが、それでも自分の知識を思い出すくらいの役割はある。
1章と2章をすっ飛ばして、エントロピーの第3章を読み、つぎに第5章の統計力学の章を読み、いま第4章の気体分子運動論を半分近く読んだ。
大体が、小説でも何でもはじめのところが退屈である。そこをどうやって切り抜けるか、それが私が本を読むときの心掛けているところである。昔、遠山啓の『数学入門』上（岩波新書）を読んだときにも最終章から前へと読み戻ったという経験がある。これは私には序章が読む気がまったくでなかったからである。
もっともそういうことができるのもやはりある程度の予備知識をすでにもっているからでもあろう。それはどこで身につけたかと言われても困るが、長い間に身につけた自分自身のものがあるということであろう。
それが他の人と比べて大きいということはもちろんないが、それでもまったくゼロということでもない。
昨日、急にアクセス数が増えた。どうしてなのだろうか。昨日はBoltzmannの原理について書いたのだが、それでもそれはあまりいい説明ではあるはずがない。
昨日は竹内淳さんの『高校数学でわかるボルツマンの原理』（講談社ブルーバックス）のことを書いた。昨夜は「エントロピーとは何か」のところ読み終わりを、今日になって午前中に、統計力学のボルツマン分布の導出を読んだ。まだこの章を読み終わってはいないが、それでもボルツマン分布の導出法は他の統計力学の本の導出と同じであった。
だが、この本を読んでから統計力学の本とか熱力学の本を読めば、肝心のところがよく分かるであろう。それで大学で熱力学とか統計力学を学んでいる人に一読をお勧めをしたい。
テクストとしてはムーア『物理化学』上（東京化学同人）の第1章から第5章までが、熱力学と統計力学にあてられており、分かりやすい。
というのが昨夜のNHKのフランス語講座に出ていた。Le temps qui passe est utopie.（ル タン キ パス エ ユトピー）「過ぎ去る時間はユートピアである」とでも訳されるのであろうか。
これがどういうコンテクストで言われた言葉なのだろうかは聞き逃した。
Boltzmannの原理とは、粒子の分布がe^{-E/k T}で分布することだと思っていたが、竹内淳さんの本『高校数学でわかるボルツマンの原理』だとエントロピーSが
S=k log W
という式のことだとある（同書p.202)。ここで、Wは微視的な状態の数である。「そうだったのかしら」とあわてて『理化学辞典』を見に行ったら、その通りである。
もっとも統計力学の本では「Boltzmannの原理」という名称を採用しない書もある。
私はいわゆるBoltzmann分布の方が大切だと思っている。
上のエントロピーSと微視的状態の場合の数Wとがつながることが一つの重要な結果であることはまちがいがない。それまでエントロピーSが熱と関係して
dS=d'Q/T
と表されていたのが、ミクロな状態の数 W と関係がつけられたのだから。
申し遅れたが、d'Qは系の熱量の微小量であり、Tは絶対温度である。本来、d'Qは完全微分ではないが、それを絶対温度で割るとそれは完全微分となる。
(２０１８．５．１７付記）d'Q/T分母の 1/T のことを積分因子という。d'Qはそれ自身は完全微分ではないが、積分因子 1/T をつけたら、完全微分になる。これとはちがうが、熱力学第1法則では内部エネルギー U の微分 dU は完全微分だが、それを構成する d'Qと-pdVとは完全微分ではない。ところがそれを足し算した
dU=d'Q-pdV
は完全微分となっている。これを不思議だと思っていたが、ムーアの『物理化学』上（東京化学同人）pp.44-45の第2章5節の『熱の力学的定義」にいい説明がある。いつかこの解説を「数学・物理通信」に書きたいと思っている。
物理学者のGibbsがHamiltonの四元数とGrassmannの外積代数からどこをどのように選び出して、いまのベクトル解析をつくったのか、知りたいと思うようになった。
M. J. Crowe "A History of Vector Analysis" (Dover)という1冊の本にいわゆるベクトル解析の歴史が出ているのだが、まだ十分詳しくは読んでいないからか、どうもその肝心のところはあまり書かれていないような気がする。
ベクトル解析の歴史については、1冊本を書くくらいの内容があるということではあるが、その要点は1冊の本を書くほどの多量の内容ではないのだと思う。もちろん、それほど簡単ではないにしても。どこをどのようにうまくつまみ食いをして、ベクトル解析をつくったのか。そういうことを知りたいという気持ちである。
どの本を見ても、Hamiltonの四元数とGrassmannの外積代数からベクトル解析をつくったということは書いてあるが、その詳しい取捨選択のいきさつがたらないような気がする。
四元数の発見のいきさつだって、私がHamiltonのメモや論文から四元数発見の思考を解読するまで、日本の社会では詳細な経緯は知られていなかったと思う。そういう検討をされたとしても、それを発表するという人はいなかったと思う。これは世界的に見たら、そのHamiltonの論文やメモの解読は私が世界で一番初めではないかもしれないが、そういうものを私自身はまだ見たことがない。
どこからきたのか。それをパッと答えることができる人はやはりなかな理解が深い人だと思う。
いつのことだったか忘れたが、行列の積をどうやって導入していたかを、私が行列というモノをはじめて知った、矢野健太郎『代数学と幾何学』（裳華房）で調べたら、これは
線形変換を2回続けて行う
ことから導入がされていた。
ところがこれを大学ではじめて M 先生から教わったときには、3次元の線形変換を2回続けてする、という計算をされたと思うが、面倒なことをするものだと感じたから、物事がきちんとわかっていなかったということがわかる。
行列の積の導入がどうだったのかを疑問に思い出したのは行列の積を学んでから30年以上経ってからだというのは、やはりよっぽど私は「のんき坊主」であったということであろう。それよりももっとひどいのは、ベクトル代数のスカラ積とベクトル積の定義はそのまま覚えてしまって不思議とも何とも思わなかった。
もう人生が終わりそうになって、疑問に思い出して、「あれっ」と思うようになった。どれだけ私はバカなんだろうと思う。
ボイヤーの『数学の歴史」５（朝倉書店）でCayleyのところを読んだら、「2次元の線形変換を続けてする」ということで「行列の積の定義」を説明している。CayleyとかSylvesterらが数学に行列という概念を導入したと書いてある。
