数学・物理通信への読者の声に応えようと「自然数のべき乗の級数の和」という題でエッセイを書き始めたが、書きながらつっかえてしまっている。
階差0項数列を求めて「自然数のべき乗の級数の和」を求めるという方法を名古屋在住のHさんから提案されているのだが、その階差0項数列の一般項をどうやって求めるかがテーマなのである。
その一般項を求めることができたと思うのだが、説明をしようとエッセイを書き始めるとどうも気持ちの悪いところが出て来て、昨日はそれがどうしてなのかわからなくて困ったが、帰宅する前になってそこがようやく解決した。
それでなんとかまたエッセイを書き続けられそうになった。まだ、エッセイで書きたいことの構想の半分も書いてはいないのだが、それは仕方がない。
仕事が遅いのはしかたがないが、いつもなんだか整合性がなかなか得られなくて居心地がわるい。
それはどこかというと階差数列の前進差分をとっているのだが、はじめのところだけ後退差分を取っているように見えたのだ。そこが、しかし昨日解決したので、少しすっきりとした。
昨日の午前中には階差0項数列の予想された一般項をようやく数学的に帰納法で証明ができた。一昨日にはそれをどうしていいかわからなかった。
証明の方向だけ一昨日の夜遅く考えついたが、それが本当に成功するかどうかは見通せなかった。やってみるとそれほどの困難もなく数学的帰納法で証明ができてほっとした。
何でも細かいことなのだが、それでもそこらへんがしっくりしないと落ち着きが悪い。でもちょっとだけ前進できそうである。
Hさんの質問に答えることはこのエッセイの完成によって代えることができるだろう。
（２０１２．１１．２９付記） 数学・物理通信への手紙のところにも付記をしたが、n, n^{2},n^[3}, n^[4}, ・・・の多項式で整数の和を表せる場合だけではないことを昨夜「数学勉強法」を読んで知った。
この本にフィボナッチ数列のことが出ていたが、この数列は階差をとっても定数になることがない（フィボナッチ数列では階差に循環する数列が現れる）。だから、n, n^{2},n^[3}, n^[4}, ・・・の多項式では表せないのだと思う。
「自然数のべき乗の級数の和」などと大仰なタイトルをつけた、このブログのことを後悔しているが、これは記録なのでそのまま削除しないで残しておく。