性懲りもなく先日書いたの整数問題の類題について書く。
前の問題は「2つの続く奇数の積に1を加えるとそれは４の倍数になる」であったが、今度は「２つの相続く偶数の積に1を加えるとそれはそれらの偶数の和の相加平均、すなわち、二つの偶数がはさむ奇数の２乗となる」である。
相続く偶数を2nと2n+2とする。このとき
[2n+(2n+2)]/2=2n+1
となる。ここで2n+1=Aとおけば、A-1=2n, A+1=2n+2である。上の式は
[(A-1)+(A+1)]/2=A
であることを示している。また A=2n+1である。
2n(2n+2)+1=(2n+1)^{2}
である。これは単に
(A-1)(A+1)=A^{2}-1
の右辺の1を左辺に移項した
(A-1)(A+1)+1=A^{2}
のA=2n+1を代入すればよい。