なかなか仕事が進まない

ポントリャーギンの『数概念の拡張』（森北出版）の四元数の章を以前から読んでいる。

はじめはベクトル空間について書いてあり、つぎに計量ベクトル空間について書いてある。その後にようやく四元数の話となる。

前の二つの部分をようやく読み終わって、今は四元数の幾何学的応用のところを読んでいる。

実はこの部分は前にも2014年に『四元数の発見』を書いたときにも読んだのだが、あまりよくわからなかった。

それでも本を書いたというのはちょっと強心臓にはちがいないが、それでも四元数についてのポイントははずしてはいなかったはずである。

今『数概念の拡張』を読んでみると前にはわからなかところがわかるようになっていたり、やはりわからなかったりといろいろである。

平行して、F. クラインの"Elementary Mathematics”を読んでいるのだが、気の向いたときに気の向いた方を読んでいる。こちらも同じようなことを書いてあるのだが、それでも違っている。

こちらの方はいま４次元空間の直交変換にあたる、話のところを読んでいる。ところがこれがわからない。４次元世界は関係がないようにも思われるが、ローレンツ変換で不変な世界であるので、物理的にも関心がないわけではない。

もっともミンコフスキーの世界と純然たる４次元世界とはメトリックがちがう。式で書くと

　x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ct)^{2}=const

が不変である世界（ミンコフスキー空間）と

　x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}=const

が不変である純然たる４次元世界とはもちろん違うが、それでも似ている部分もないではない。

そして、その自由度の話がF. クラインの"Elementary Mathematics”には書かれているのだが、なかなかわからないというのが現状である。この混迷から抜けられるのはいつになるだろうか。

昨日から本を探しているが、

昨日から本を探しているが、お目当ての本は見つからない。

仕方なく、他の線形代数のテクストを見たら、まったくベクトル空間の例について言及のないテクストもまれにはあるが、どのテクストにも例としていくつか書かれていることを知った。

なぜベクトル空間の例を探しているのか。実は小著『四元数の発見』を英訳するに備えて第６章の「四元数と空間回転 3」の内容の改訂のための勉強をしている。

第６章の３節がどうもその前の節との接続がわるくて、唐突感をぬぐえないので、ここをもっと違和感のないように書き換えたいと前から思っていた。

そのためにはベクトル空間の定義とか計量ベクトル空間の定義を書いたのちに、ベクトル空間の例がほしいと思っている。

もっとも四元数との関係ではベクトル空間の例など挙げるのは余計な話かもしれないので、これは本筋に入れないで第６章の付録に述べるつもりである。

もちろん、ベクトル空間の定義とか計量ベクトル空間の定義はぜひ書いておきたい。そうしないと直交補空間がなぜ唐突に出てくるのか理解ができないから。しかし、いまの書きかたでも、ちょっとしばらく我慢して読み続けてもらえれば、話の接続はつくのだが。

昨日は一日コタツで

昨日は一日コタツでうつらうつらしていた。

日が差し込むと冬の日でもまぶしいのでカーテンを半分くらい引いて、日が入らないようにしている。

だが、日が雲に隠れると急に暗くなって電気をつけるかそれでなくてはカーテンを開けに行く。

自宅に持って帰ったポントリャーギンの『数学概念の拡張』（森北出版）はかばんから取り出すこともしないで、Kleinの”Elementary Mathematics”のコピーを読んだ。これは３次元の回転変換から４次元の同じ回転変換のところである。まだ読み終わっていない。

途中で重複を許した組み合わせの公式を知りたくなり、持っている本を探したがなかなかない。最後に藤森良夫先生が書いた古本を見つけて重複を許した組み合わせの公式はわかった。

ポントリャーギンの『数概念の拡張』

ポントリャーギンの『数概念の拡張』（森北出版）の四元数の章を先日から読んでいる。ポントリャーギンは四元数を計量ベクトル空間のベクトルの一つとしてとらえていて、まさにその通りである。

だが、別のやはりロシアの数学者たちが書いた本ではベクトル空間についても説明があるみたいだが、とどのつまりは多元環へと導くための導きの糸であるという観点らしい。この『超複素数』（森北出版）のほうが説明が詳しそうである。

ポントリャーギンの名著と言えば、言わずと知れた名著『連続群論』（岩波書店）であろうか。この本のはじめの２章か３章を大学院に入った直後に故池田峰夫先生のセミナーで読んだことがあったが、残念ながらこれはまったくわからなかった。

池田先生はセミナーの終わりにこの本の後ろの方の章が、素粒子物理学の連続群の表現に使えるとかタネ明かしをされたが、そういわれても連続群論にもう嫌気がさしていた私には、どうにもならなかった。

ポントリャーギンといえば、遠山啓の『無限と連続』（岩波新書）には盲目の幾何学者とあったように思う。とにかく数学者でポントリャーギンの名を知らない数学者などいないだろう。

なんでも小さいときだったかに、ある爆発事故に巻き込まれて目が見えなくなったが、お母さんが彼の学校についていって、学習教材を読み上げてくれて、数学等もまなび、優れた幾何学者となったとか。

公理的なベクトル空間

ベクトルを知らない理系の人はいないと思われるが、ベクトル空間を知っている人はどれくらい、いるのだろうか。

もちろんこれは数学者とかの数学関係者は除いての話である。かく申す私もあまりベクトル空間などには関心のなかった者である。

こんなことを書くと「お前、ベクトル空間も知らないのか」と軽蔑されるのがおちだが、実はあまりよくは知らない。

『四元数の発見』（海鳴社）を書いたときに、四元数をベクトル空間の元としてとりあつかうということを書いた。ところが四元数のつくる空間はベクトル空間ではあるが、計量ベクトル空間（私の本ではユークリッド・ベクトル空間といっている）であった。この計量ベクトル空間ではスカラー積が定義され、ある意味で距離などが定義される。

そのために距離空間の公理を満たしている。距離などは中学生でもわかる概念だろうが、それを数学では結構面倒にいう。こういうことを『四元数の発見』にもさりげなく始めの方に書いておいた。

もっとも私は計量ベクトル空間の基礎としての四元数の直交性がわからなくて、かなり困っていた。四元数が計量ベクトル空間の一例と考えられるということをポントリャギンの『数概念の拡張』（森北出版）から知ったのだが、このときのスカラー積が四元数の演算とは別に定義されるのだということがなかなか、わからなかった（注）。

『四元数の発見』の査読をしてもらった K さんからこのことを指摘されてようやく自分の認識の欠陥を知った次第であった。これは私の物わかりのわるさを白状したことになるが、言い訳をすると『数概念の拡張』では訳者がスカラー積の記号を導入しているが、その定義が明示的に書かれていないことに原因があった。

複素数のつくる空間も計量ベクトル空間の例と考えられる。その例からスカラー積は普通のベクトルと同様に定義できるとわかった。これによってはじめて四元数についても理解できたと感じることができた。

四元数の演算規則とは別に四元数の間にスカラー積を定義できる。この辺が分からない期間が長かった（たぶん半年かそれ以上）ので、友人の数学者のNさんにわからないところを相談したと思うのだが、どうも私の疑問の点が彼に十分伝わらなかったらしい。彼から説明を受ける機会はなかった。残念なことであった。

（2022.4.15 注）四元数の直交性の概念がわからなかったのではなく、これを四元数の数の定義とは別に定義しなくてはいけないということがわからなかったのである。

小さいの字の本が読みにくい

F. クラインの``Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint" (Dover)を昨夜から、この書の四元数の箇所を読み始めたのだが、字が小さくて読む気がしない。

思いついたのは拡大コピーをとってそのコピーを読んだらどうかということである。内容というよりは字の小ささが学習意欲を減じているのだから、内容の問題ではない。

Dover版の本は定価が安いから購入して、他にもいくつかもっているが、これらを取り出して読もうとするときにいつもこういう風に感じるとすれば、年を取ることはなかなか厄介でもある。

「四元数談話」というのがあった

一昨日だったかネットサーフィンをしていたら、インターネットのある数学サイトに「四元数談話」というのがあり、私の著書『四元数の発見』（海鳴社）を解説したようなサイトだった。

 

ハンドルネームKENZOUさんは他の数学の解説もしっかりした、かなりの実力のある方である。テンソル解析の解説の100ぺージもあるのだが、私のレーザープリンタではうまくプリントできなかった。ぜひ読んでみたいと思ったのだが。

 

これはインターネットの別の箇所で見つけたのだが、四元数に関して何か新しいことを見つけた方がいて、今野さんの『四元数』（森北出版）とか私の『四元数の発見』には出ていなかったとあった。

 

今野さんの著書とか私の本がいつのまにかスタンダードなものとみなされているらしい。上の発見（？）に関しては論文として投稿して見たらとのアドバイスがされていた。

 

（２０２３．１．１４付記）

ちょうど１年前にインターネットで見つけたサイトから、「四元数談話」をプリントして正月明けから読んだ。

 

よくかけているので、注文をつけるところがない。もっとも私はこういうサイトから何らかのヒントを得て、自分の本を少しでも良くすることを考えているのだが。一度は通読したが、もう一度か２度通読した方がよさそうである。

 

それと詳しく数式をフォローしておきたい箇所があったのだが、そこは今のところパスしている。私の本では四元数について、できるだけ発見的に記述するということを心掛けたが、Kenzouさんはそういうこだわりはないようである。まあ、人ひとはそれぞれということだろうか。

年を取ると退屈するか

年を取ると退屈するか。

幸いなことにそういう退屈とかを知らないでここ数十年を生きている。幸せなことだ。これは結局どこか体が痛いことがないとか調子がわるいこととかがないことに大きな理由があろうか。

すなわち、一人でしたいことをしている退職後の生活なのである。ドイツ語のクラスで先生のR氏から大学にいたときのほうが楽しかったのではないかと聞かれたことがあったが、私は断じてちがう。今の方が楽しいと答えた。

これは人によってちがうだろう。人を支配するのが好きなタイプの人には退職後はつまらない人生かもしらないが、自分でつつましく自分の関心事を調べてきた者には絶対いまのほうが楽しい。

だから、時間が足らないとかいう感じはないでもないが、それはやりたいことを生きているうちにやることがすべてできるだろうかという予想との関係だけであって、人生としてはどこかで終わっても不思議ではない。

言葉がききとれなくなった

いや、日本語のことではない。いや日本語でもそうではあろうが、いまは日本語のことは話すつもリはない。

昨夜もNHKのEテレでの「旅するためのドイツ語」でハンブルクの男性がいろいろ話しているのだが、なかなか聞きとれなくなっている。

いや、もともとこれくらいのドイツ語の聞く力だったのかもしれないのだが。

毎週、オンラインで木曜日の晩にあるドイツ語のクラスでもちょっとそういうところがある。もっとも、こちらも大体そういうくらいのドイツ語の聞く力しかなかったのかもしれない。

昨年だったかに92歳で亡くなった医師の方で旧制の高校でドイツ語をみっちり鍛えられた方だったが、今の私と同じくらいの年齢の時に私たちのドイツ語のクラスに数年出席されていた。

はじめはあまりイラつくという感じではなかったが、２年目かにはドイツ語を聞き取れないので、イライラされた様子が見られたことがあった。

そのときにときどき短くだが、日本語で話の内容を説明してあげるとほっとされた様子がみられた。私もそういう年齢にさしかかって来ている。

それから、１年ほどはその方はクラスに出席されていたが、３年経った段階でクラスを辞められた。「まあ、３年頑張ったのだからいいだろう」とご自分で言われていたのを覚えている。

それくらい若いときにドイツ語を鍛えられた方でも年をとると聞くのが難しくなってくる。その方は補聴器を使われていたが、物理的にうまく聞き取れたかどうかはわからない。

もっとも若いときに私などとは違ってドイツ語については鍛えられた方だろうが、これは文字を通じて文章を読むということを通じてであって、音声としてではない。

最近はテレビでもラジオでも外国語はまずは音声だという感じが教える先生方にも強いが、昔は文字を読んで理解するという傾向が強かったから、なかなか基本的に音声で行われる、クラスにはついていけないのかもしれない。

私たちが師事している、R氏とは彼が日本にやってきたときからのつきあいだが、私は彼のドイツ語をたくさん聞いているほうだが、それだって限られた時間にしかすぎない。

一つの外国語が聞き取れるようになるのは最低2,000時間の時間が必要だとか言われる。英語だって続けて2,000時間以上を聞き続けているのか私自身は疑わしい。それだからかどうか、いつまでたっても映画やテレビの英語は字幕なしではわからない。

もっとも英語圏には留学したことはないので、しかたがないのかもしれない。

フランス語のニュースが14時前にNHKのラジオで最近流されているが、ところどころ単語がわかる程度でしかない。これが趣味でフランス語やドイツ語を学んでいる者の限界であろうか。

だからと言っていまさら、落胆するでもないから、下手の横好きでも、好きなものは好きなのである。

解析接続の方法と分岐点

新しく関数論のテクストを見たら、まず解析接続の方法と分岐点がどう書かれているかを、まずチェックするとこのブログで書いたことがある。

解析接続の方法と分岐点のことがきちんと書かれた関数論（複素解析）のテクストがあまりないと、このブログで何回か、ぼやいたこともある。

ところがそれらについて書かれたテクストが出ていた。金子晃『関数論講義』（サイエンス社）がそれである。

もっとも分岐点の説明はまだ読んで十分に納得できているわけではない。これはこの本の問題ではなくて、私の理解力の問題であるのだろう。

金子さんは私がH大学で関数論を学んだ、及川廣太郎先生に東京大学で関数論を学んだという。だから無理にこじつければ、いくらかはご縁があることになる。もっとも私は及川先生のいい学生ではなかった。なぜなら、先生の言葉につられて数回講義に出たきりで、あとは欠席で最低の評価の可で単位をもらったから（注）。

金子さんの『基礎と応用　微分積分学 I, II』（サイエンス社）は笠原こう司先生の『微分積分学』（サイエンス社）と並んで、優れた微積分学のテクストであるとの評価がされている。

金子さんの解析接続の方法の記述に注文がないわけではないが、真正面から取り組んで下さったことに敬意を表したい。

しかし、こういうテクストを書こうと思った数学者は、いままであまりいなかったのではなかろうか。最近この本を含めて数学のいいテクストが出るようになったのは喜ばしい。

（注）もっとも及川先生が、お情けの可という評価で単位を出された学生も多かった。及川先生に私の関数論の単位の取得の届け出が学務係に出ていないのですが、と申し出たときに「君はお情けの可だったかね」と言われてご自分のノートを調べて、「君はそうではなかったね」と修正をされた。

しかし、いずれにせよ褒められるようなことではないことは確かである。及川先生は６０歳ちょっとすぎで、亡くなられたと思う。

人から見ると

私は人から見るとブログに何でも書いているように思えるかもしれないが、やはりかなり限られたことしか書いてないつもりである。

だいたい、よっぽど有名な人でなければ、このブログでは取り上げてはいない。それとできるだけその人の欠点には触れないつもりである。

もっともそういうことまで思う人など私にはほとんどいない。だいたいブログを書いている私自身が欠点の多い人間だから、人様のことをとやかくいうことなどできないということである。

もっともある方の逆鱗に触れたこともあって、つきあいを拒否された感じになったことはないわけではない。

もっともそれだってインターネット上のことであって、直接のつきあいではない。

本への書き込み

本への書き込みを最近するようになった。どの本にでも書き込みをしているわけではもちろんないが、数学の本を読んで書き込みをすることが多いような気がする。

その本を読んでいるうちに、どうしても好奇心が抑えられなくなって、本の余白にちょっとした計算をしてみたりとか、またはその書かれたことに触発された考えとかを書き込んだりする。

はじめはインターネットからプリントしたレポートを読んで書き込みをしたり、計算を書いたりしていたのだが、それが普通の本の場合にもするようになったのかもしれない。

要するに著者とはちがった感覚をもったりしたときとか、その記述に関して自分の関心が広がる方向を書き留めたかったり、ということだ。

これにはこすって消せるボールペンである、フリクションボールの一般化に負うところが多い。もっともシャープペンシルで高木貞治『解析概論』（岩波書店）の無限級数の章にかなりたくさんの書き込みをしているという前科はある。

(2022.1.10付記)　本の書き込みで思い出したのだが、在野の思想家で小児科の医師であった松田道雄さんが、自分はどこかの研究機関に属しているわけではないから、自前で本を買うのでその費用が大変だが、その分自分の本への書き込みが自由にできていいとかいうような趣旨のエッセイを書かれていたと記憶する。

私も松田さんの思想に啓発された一人である。もっとも啓発されたのは松田さんだけにではなく、その後には作家の小田実さんとか、いろいろな人の影響を受けていることは当然であるけれども。

熱力学も名著が出ているらしい

熱力学も名著が出ているらしい。東京大学教養学部の清水明さんの『熱力学の基礎』I, II（東京大学出版会）がそれらしい。

同じ清水さんの『量子力学の基礎』も人によるが、いい本だとの評判らしい。

私も量子力学を３０年以上教えて来たので、こちらにも関心がある。

熱力学の方は定年になる前の５年ほど熱力学を教えた経験があるが、こちらの経験はあまり長くはなかった。

なかなか自分で本を買って読むという経験はできないものだ。

田崎さんの『熱力学』（培風館）は一度何ページか読んだが、私にはなかなか読めなかったので断念した記憶がある。

こちらも透徹した論理で熱力学を取り扱っているとは思うだが。むしろインターネットで流布している数学の彼のサイトがすばらしいと思っている。

昨日何をしたか

昨日何をしたかをあまり覚えていない。

手書きの原稿を少しだけlatex入力したことだけを覚えている。題して「ライプニッツが導いた級数の和」である。もっともこれは手書きの原稿でも４，５枚のエッセイである。

まだもっと大事なことが書かれていないのだが、一晩寝たので、そこの部分を書き加えたほうがいいのかなと思っているが、これは元のライプニッツの着想にもとづいて、すでに数学者の中村滋さんが彼の著書で書かれているので、私は現代風に書いた方がいいだろう。

ある数学公式集をみたら、3０以上の整数とかその逆数の級数の和の公式が出ていた。それらは微積分のテクストを見たらそのほとんどの級数の和の導出が書かれているのだろうが、その導出をまとめてみたいという気がしている。

二項定理のエッセイの修正

以前に「数学・物理通信」に掲載した数学エッセイ「二項定理１」と「二項定理２」を修正している。

もっとも本質的な修正ではなくて、ちょっとした言葉遣いを修正しているのである。それと式の番号を修正している。

これは新しい「一般二項定理」の原稿ができたたので、前の二項定理とあわせて考えるようになったためである。

これとか級数の和だとかまた新しく取り組もうとしているテーマがある。

それもいま関心を持っているのは整数の級数の和だとかその整数の逆数の和だとかを求める方法を書いておきたいのである。昨日、公式集を調べたら、３０くらいあった。

これらの証明が全部わかるだろうか。